Condutividade elétrica () é usada para especificar o caráter elétrico de um material. Ela é simplesmente o recíproco da resistividade, ou seja, inversamente proporcionais e é indicativa da facilidade com a qual um material é capaz de conduzir uma corrente elétrica. A unidade é a recíproca de ohm-metro, isto é, [(Ωm)-1]. As seguintes discussões sobre propriedades elétricas usam tanto a resistividade quanto a condutividade.

${\displaystyle \sigma ={1 \over \rho }}$

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Materiais sólidos exibem uma espantosa faixa de condutividades. De fato, uma maneira de classificar materiais sólidos é de acordo com a facilidade com que conduzem uma corrente elétrica; dentro deste esquema de classificação existem 3 grupamentos: condutores, semicondutores e isolantes. Metais são bons condutores, tipicamente tendo condutividades da ordem de 107 (Ωm)-1. No outro extremo estão os materiais com muito baixas condutividades, situando-se entre 10-10 e 10-20 (Ωm)-1; estes são os isolantes elétricos. Materiais com condutividades intermediárias, geralmente entre 10-6 e 104 (Ωm)-1, são denominados semicondutores. No Sistema Internacional de Unidades, é medida em siemens por metro.

Constitui engano achar que o ouro é o melhor condutor elétrico. Na temperatura ambiente, no planeta Terra, o material melhor condutor elétrico ainda é a prata. Relativamente, a prata tem condutividade elétrica de 108%; o cobre 100%; o ouro 70%; o alumínio 60% e o titânio apenas 1%. A base de comparação é o cobre. O ouro, em qualquer comparação, seja no mesmo volume, ou na mesma massa, sempre perde em condutividade elétrica ou térmica para o cobre. Entretanto, para conexões elétricas, em que a corrente elétrica deve passar de uma superfície para outra, o ouro leva muita vantagem sobre os demais materiais, pois sua oxidação ao ar livre é extremamente baixa, resultando numa elevada durabilidade na manutenção do bom contato elétrico. Entre os citados, o alumínio seria o pior material para as conexões elétricas, devido à facilidade de oxidação e à baixa condutividade elétrica da superfície oxidada. Assim, um cabo condutor de cobre com os plugues de contatos dourados levam vantagens sobre outros metais. Uma conexão entre superfícies de cobre, soldada com prata constitui a melhor combinação para a condução da eletricidade ou do calor entre condutores distintos.

Tabela de Condutividades Elétricas

Material	Condutividade (S.m/mm2)
Prata	62,5
Cobre puro	61,7
Ouro	43,5
Alumínio	34,2
Tungstênio	18,18
Zinco	17,8
Bronze	14,9
Latão	14,9
Níquel	10,41
Ferro puro	10,2
Platina	9,09
Estanho	8,6
Manganina	2,08
Constantan	2
Mercúrio	1,0044
Nicromo	0,909
Grafite	0,07

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Condutividade de semicondutores (com electrões e lacunas)

Num condutor sólido existe uma nuvem muito densa de eletrões de condução, que não estão ligados a nenhum átomo em particular. Por exemplo, os átomos de cobre no seu estado neutro têm 29 eletrões à volta do núcleo; 28 desses eletrões estão fortemente ligados ao átomo, enquanto que o último eletrão encontra-se numa órbita mais distante do núcleo e sai com maior facilidade para a nuvem de eletrões de condução.

Um pequeno deslocamento da nuvem de eletrões de condução faz acumular um excesso de cargas negativas num extremo e cargas positivas no extremo oposto. As cargas positivas são átomos com um eletrão a menos em relação ao número de protões. Quando se liga um fio condutor aos elétrodos de uma pilha, a nuvem eletrônica é atraída pelo elétrodo positivo e repelida pelo elétrodo negativo; estabelece-se no condutor um fluxo contínuo de eletrões desde o eletrodo negativo para o positivo.

Os semicondutores são materiais semelhantes aos isoladores, sem cargas de condução, mas que podem adquirir cargas de condução passando a ser condutores, através de diversos mecanismos: aumento da temperatura, incidência de luz, presença de cargas elétricas externas ou existência de impurezas dentro do próprio material.

Atualmente os semicondutores são construídos a partir de silício ou germânio. Os átomos de silício e de germânio têm 4 eletrões de valência. Num cristal de silício ou germânio, os átomos estão colocados numa rede uniforme, como a que aparece na figura abaixo: os 4 eletrões de valência ligam cada átomo aos átomos na sua vizinhança.^[1]

Os átomos de arsênio têm 5 eletrões de valência. Se forem introduzidos alguns átomos de arsênio num cristal de silício, cada um desses átomos estará ligado aos átomos de silício na rede por meio de 4 dos seus eletrões de valência; o quinto eletrão de valência ficará livre contribuindo para uma nuvem de eletrões de condução. Obtém-se assim um semicondutor tipo N, capaz de conduzir cargas de um lado para outro, através do mesmo mecanismo que nos condutores (nuvem de eletrões de condução).

Os átomos de gálio têm três eletrões de valência. Nos semicondutores tipo P existem alguns átomos de gálio dentro de um cristal de silício (ou germânio); os 3 eletrões de valência de cada átomo de gálio ligam-no à rede, ficando um buraco onde um átomo de silício tem um eletrão de valência que não está ligado a outro eletrão de um átomo vizinho. Esses buracos também podem ser usados para transportar corrente; os eletrões podem deslocar-se para um átomo de gálio na vizinhança, onde exista um desses buracos.

Na figura abaixo representam-se dois blocos semicondutores dos dois tipos, N e P. Cada bloco é um cristal de silício ou de germânio; os círculos representam os átomos de arsênio e de gálio introduzidos no cristal. Esses átomos encontram-se fixos na rede, em quanto que os eletrões de condução, no semicondutor N, e os buracos no semicondutor P, podem deslocar-se entre os sítios (locais) onde existam outros átomos de arsénio ou de gálio.^[1]

Os dois tipos de semicondutores.

Se os extremos do um fio semicondutor do tipo P forem ligados aos elétrodos de uma pilha. Os buracos perto do elétrodo negativo serão preenchidos com eletrões fornecidos por esse elétrodo; esses eletrões poderão saltar para outros buracos vizinhos e assim sucessivamente. Os eletrões deslocam-se no sentido do elétrodo negativo para o positivo, mas saltam apenas de um buraco para o vizinho. No entanto, os buracos deslocam-se todo o percurso desde o elétrodo positivo até o negativo. É semelhante à circulação de automóveis à hora de ponta, quando há filas compactas; os automóveis conseguem apenas deslocar-se uma pequena distância no sentido da estrada, mas aparecem buracos na fila, que se deslocam rapidamente no sentido oposto.

Assim, quando ligamos um fio semicondutor entre os elétrodos da pilha, o resultado é o mesmo, independentemente do tipo de semicondutor: passagem de cargas positivas do elétrodo positivo para o negativo, e passagem de carga negativa do elétrodo negativo para o positivo.^[1]

Nos condutores líquidos, gasosos ou em pó existem cargas de condução tanto negativas como positivas. Já vimos por exemplo o caso do eletrólito de uma pilha, onde existem iões positivos e negativos. Num gás ionizado também existem iões positivos e negativos que se podem deslocar dentro do gás. Quando existir uma fem entre dois pontos desse tipo de condutores, os iões positivos e negativos deslocam-se em sentidos opostos. O efeito resultante, em termos de condução de cargas, produzido pelo movimento dos dois tipos de iões é o mesmo: entram cargas negativas no elétrodo positivo e entram cargas positivas no elétrodo negativo.^[1]

Numa lâmpada fluorescente, uma força eletromotriz é usada para ionizar o gás. A ionização do gás produz iões positivos e eletrões livres (ver figura abaixo). Se num determinado instante o elétrodo A estiver a maior potencial que o elétrodo B, os iões positivos deslocar-se-ão de A para B, e os eletrões de B para A. A passagem dessas partículas produz colisões com moléculas do gás que produzem mais iões e luz. Assim, uma vez aquecida, é precisa uma diferença de potencial menor para manter o fluxo de cargas na lâmpada.

Iões positivos e eletrões livres dentro de uma lâmpada fluorescente. No ponto o elétrodo A está a maior potencial que o elétrodo B.

Existem outros mecanismos de condução das cargas elétricas, como por exemplo o que é usado nos detetores de incêndio. Dentro do detetor existe uma câmara de ionização (cilindro preto) onde a passagem de cargas é devida à produção de partículas alfa emitidas por uma substância radioativa. As partículas alfa são núcleos de hélio, com carga igual a duas unidades elementares de carga. As partículas são disparadas para fora da substância radioativa, passando pelo ar à volta da substância, antes de serem recolhidas num elétrodo no detetor. A presença de fumo introduz partículas sólidas no ar, que travam as partículas alfa, produzindo uma redução do número de partículas recolhidas no elétrodo. A redução do fluxo de cargas faz disparar um sinal de alarme.^[1]

Fórmula da Condução no semicondutor representa-se por:

${\displaystyle \sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})[\Omega .cm]^{-1}}$

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onde:

${\displaystyle \sigma }$ – condutividade;

q – módulo da carga elétrica do electrão;

n – concentração de elétrons;

p – concentração de lacunas;

μn – mobilidade dos elétrons (1 350 cm²/(V.s));

μp – mobilidade das lacunas (500 cm²/(V.s)).

Agitação térmica (ionização térmica) ⇒ quebra de ligação covalente⇒ geração de par electrão –lacuna. Também por agitação térmica ⇒ restabelecimento de ligação covalente por recombinação de par electrão –lacuna

Então:

${\displaystyle p=n=n_{i}}$

onde:

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p - concentração de lacunas (lacunas / cm³);

n - concentração de elétrons livres (electrões / cm³);

${\displaystyle n_{i}}$ - concentração intrínseca (portadores / cm³);

A ${\displaystyle n_{i}}$ é independente da concentração de impurezas dadores; é função da temperatura.

Constante de Coulomb, também chamada de constante eletrostática, ou constante de força elétrica,^[1] é a constante de proporcionalidade k que aparece na equação da força eletrostática da lei de Coulomb, bem como em outras fórmulas relacionadas à eletricidade. Foi nomeada em homenagem ao físico francês Charles-Augustin de Coulomb (1736-1806), que introduziu a lei de Coulomb.

Valor da constante

A constante de Coulomb é a constante de proporcionalidade na lei de Coulomb,

${\displaystyle \mathbf {F} =k_{\text{e}}{\frac {Qq}{r^{2}}}\mathbf {\hat {e}} _{r}}$ .

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Nessa expressão ${\displaystyle {\hat {e}}_{r}}$ é um vetor unitário na direção ${\displaystyle \mathrm {r} }$.^[2] No Sistema Internacional de Unidades (SI):

${\displaystyle k_{\text{e}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}}$

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O valor exato da constante deriva do valor de três constantes fundamentais no vácuo: a velocidade da luz, a permeabilidade magnética e a permissividade elétrica, ligadas pelas equações de Maxwell da seguinte forma:

${\displaystyle {\frac {1}{\mu _{0}\varepsilon _{0}}}=c_{0}^{2}}$

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No SI essas constantes são:^[3]

• ${\displaystyle c_{0}\ }$ é a velocidade da luz no vácuo = 299 792 458 m s⁻¹
• ${\displaystyle \varepsilon _{0}\ }$ é a permissividade elétrica do vácuo = 8,854187817 × 10⁻¹² C²m⁻²N⁻¹
• ${\displaystyle \mu _{0}\ }$ é a permeabilidade magnética do vácuo = 4π × 10⁻⁷ H m^-

Antes da redefinição das unidades do SI, a constante de Coulomb no vácuo era considerada como tendo um valor exato:

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{\text{e}}&={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}={\frac {c_{0}^{2}\mu _{0}}{4\pi }}=c_{0}^{2}\times 10^{-7}\ {H\cdot m}^{-1}\\&=8.987\,551\,787\,368\,176\,4\times 10^{9}\ {N\cdot m^{2}\cdot C}^{-2}.\end{aligned}}}$

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Desde a redefinição,^[4][5] a constante de Coulomb não é mais exatamente definida e está sujeita ao erro de medição. Conforme calculado a partir dos valores recomendados do CODATA 2018, a constante de Coulomb é^[6]

${\displaystyle k_{\text{e}}=8.987\,551\,792\,3\,(14)\times 10^{9}\ {N\cdot m^{2}\cdot C}^{-2}}$

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Em unidades gaussianas:

${\displaystyle k_{\text{e}}=1}$

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Em unidades de Lorentz–Heaviside (ou racionalizada):

${\displaystyle k_{\text{e}}={\frac {1}{4\pi }}}$

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Constante de permissividade do vácuo, há muito tempo chamada de constante de permissividade do éter, é uma constante que permite medir a permissividade elétrica da substância que, segundo Maxwell, permeava todo o universo, chamada de éter. Segundo Maxwell, o éter era uma substância sólida elástica, na qual havia um mar de minúsculos vórtices líquidos. Na quarta de suas famosas equações aparecia a constante dielétrica, que é inversamente proporcional à permissividade, que media a elasticidade deste sólido.^[1]

A constante de permissividade do vácuo ${\displaystyle \epsilon _{0}}$ pode ser representada pelas fórmulas:

${\displaystyle \epsilon _{0}={\frac {1}{4\pi K}}}$

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Sendo ${\displaystyle K}$ a constante eletrostática no vácuo: ${\displaystyle K_{0}=8,9875\cdot 10^{9}\mathrm {Nm^{2}C^{-2}} }$

Utilizando a Lei de Coulomb:

${\displaystyle \epsilon _{0}={\frac {|Q||q|}{4\pi Fd^{2}}}}$

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Sendo ${\displaystyle Q}$ e ${\displaystyle q}$ as intensidades das cargas, ${\displaystyle F}$ o módulo da força de interação entre elas e ${\displaystyle d}$ a distância que as separa.

A constante tem como valor ${\displaystyle \epsilon _{0}=8,854187817\cdot 10^{-12}\mathrm {C^{2}N^{-1}m^{-2}} }$, conforme a recomendação do CODATA - 2006.^[2][3]

Essa constante também pode ser expressada da seguinte maneira :
${\displaystyle \varepsilon _{0}={\frac {1}{\mu _{0}\cdot c^{2}}}\approx 8{,}854\,187\,82\times 10^{-12}\;{\rm {A^{2}\cdot s^{4}\cdot kg^{-1}\cdot m^{-3}}}}$.

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As equações de Maxwell fazem aparecer a velocidade de propagação das ondas eletromagnéticas.
${\displaystyle c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\cdot \mu _{0}}}}}$.

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Utilizando-se um capacitor de placas planas e paralelas pode-se obter essa constante experimentalmente através de medidas de forças de atração entre as duas placas, em função da tensão entre elas e em função da tensão nelas aplicada ou por meio da fórmula:

${\displaystyle \epsilon _{0}=d{\frac {C}{A}}}$

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sendo d a distância entre as placas, ${\displaystyle C}$ a capacitância e ${\displaystyle A}$ a área das placas.

Pode-se obter a constante de permissividade através da Lei de Gauss. Esta lei define que o fluxo total que entra ou sai de uma região esférica do espaço mede diretamente a carga total que está dentro dessa mesma região.

Sabe-se que:

${\displaystyle \Phi =EA\cos \theta }$

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sendo ${\displaystyle E}$ o campo elétrico que passa por uma determinada área, ${\displaystyle A}$ a área considerada e ${\displaystyle \theta }$ o ângulo de inclinação das linhas de campo em relação a ${\displaystyle A}$.

E que

${\displaystyle E={\frac {Kq}{r^{2}}}}$, onde E é o campo elétrico para uma carga pontual q.

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Substituindo-se, temos:

${\displaystyle \Phi ={\frac {KqA}{r^{2}}}}$

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Considerando-se a área superficial da esfera ${\displaystyle A=4\pi r^{2}}$ temos:

${\displaystyle \Phi =4\pi Kq}$

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Substituindo-se (1) na equação temos que:

${\displaystyle \epsilon _{0}={\frac {q}{\Phi }}}$

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Que é o equivalente da lei de Gauss.

Portanto, a constante de Permissividade Elétrica do Vácuo é uma conseqüência de:

${\displaystyle \epsilon _{0}\mu _{0}c^{2}=1}$, 

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em que c é a velocidade da luz no vácuo e μ0 é a permeabilidade magnética do vácuo cujo valor é ${\displaystyle 4\pi \cdot 10^{-7}}$.

Essa equação se deve ao fato de a luz ser uma onda eletromagnética.

A permissividade ^{(português brasileiro)} ou permitividade ^{(português europeu)} é uma constante física que descreve como um campo elétrico afeta e é afetado por um meio. A permissividade do vácuo (${\displaystyle \varepsilon _{0}}$) é 8,8541878176×10^-12 F/m.^[1]

A permissividade é determinada pela habilidade de um material de se polarizar em resposta a um campo elétrico aplicado e, dessa forma, cancelar parcialmente o campo dentro do material. Está diretamente relacionado com a susceptibilidade elétrica. Por exemplo, em um capacitor uma alta permissividade do dielétrico faz com que uma mesma quantidade de carga elétrica seja guardada com um campo elétrico menor e, portanto, a um potencial menor, levando a uma maior capacitância do mesmo.

Índice

• 1Explicação
• 2Permissividade do vácuo
• 3Permissividades absoluta e relativa
• 4A permissividade nos meios
• 5Ver também
• 6Referências

Explicação

Em eletromagnetismo define-se um campo de indução elétrica D, que representa como um campo elétrico E influirá na organização das cargas elétricas no meio, por exemplo, redistribuição de cargas e reorientação de dipolos elétricos. A relação de ambos os campos (para meios lineares) com a permissividade é

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \cdot \mathbf {E} }$

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onde ε é um tensor, sendo de ordem 0, ou escalar, se o meio é isotrópico, ou de ordem 2, que é representado por uma matriz de 3 por 3 em outros casos.

A permissividade, tomada em função da frequência, pode tomar valores reais ou complexos. Geralmente não é uma constante já que pode variar com a posição no meio, a frequência do campo aplicado, a umidade ou a temperatura, entre outros parâmetros. Em um meio não linear, a permissividade pode depender da magnitude do campo elétrico.

A unidade de medida no Sistema Internacional é o farad por metro (F/m). O campo de deslocamento D se mede em coulombs por metro quadrado ${\displaystyle C/m^{2}}$, enquanto que o campo elétrico E se mede em volts por metro (V/m).

D e E representam o mesmo fenômeno, a interação entre objetos carregados. D é relacionado com as densidades de carga associada a esta interação. E se relaciona com as forças e diferenças de potencial envolvidas. A permissividade do vácuo ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$, é o fator de escala que relaciona os valores de D e E nesse meio. ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ é igual a 8.8541878176...×10^-12 F/m. As unidades de ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ no Sistema Internacional de Unidades é farad por metro (F/m). No Sistema Internacional de Unidades, a força se mede em newtons (N), a carga em coulombs (C), a distância em metros (m), e a energia em joules(J). Como em todas as equações que descrevem fenômenos físicos, usar um sistema consistente de unidades é essencial.

Permissividade do vácuo

A permissividade do vácuo ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ é o quociente dos campos D/E nesse meio. Também aparece na lei de Coulomb como parte da constante de força de Coulomb, ${\displaystyle {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}}$, que expressa a atração entre duas cargas unitárias no vácuo.

${\displaystyle \varepsilon _{0}={\frac {1}{c^{2}\mu _{0}}}=8.8541878176\ldots \times 10^{-12}\ \mathrm {F/m} ,}$

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onde ${\displaystyle c}$ é a velocidade da luz e ${\displaystyle \mu _{0}}$ é a permeabilidade magnética do vácuo. Estas três constantes estão totalmente definidas em unidades do SI.

Permissividades absoluta e relativa

A permissividade de um material é usualmente dada com relação à do vácuo, denominando-se permissividade/permitividade relativa, ${\displaystyle \varepsilon _{r}}$ (também chamada constante dielétrica em alguns casos).^[1] A permissividade absoluta se calcula multiplicando a permissividade relativa pela do vácuo:

${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}=(1+\chi _{e})\varepsilon _{0}}$

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onde ${\displaystyle \,\chi _{e}}$ é a susceptibilidade elétrica do material. Na seguinte tabela se mostram as permissividades absolutas de alguns dielétricos:

Material	${\displaystyle \varepsilon }$ (pF/m)	Material	${\displaystyle \varepsilon }$ (pF/m)
Óleo mineral	19,5	Látex	de 20 a 50
Acetona	191	Madeira	de 10 a 60
Ar	8,85	Papelão	49,5
Água destilada	707	PVC	de 30 a 40
Baquelita	de 50 a 80	Vidro	de 40 a 60

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A permissividade nos meios

No caso comum de um meio isotrópico, D e E são vetores paralelos e ${\displaystyle \varepsilon }$ é um escalar, mas em meios anisotrópicos, este não é o caso e ${\displaystyle \varepsilon }$ é um tensor de ordem 2 (o que causa birrefringência). A permissividade elétrica ${\displaystyle \varepsilon }$ e a permeabilidade magnética ${\displaystyle \mu }$ de um meio determinam a velocidade de fase v de radiação eletromagnética dentro do mesmo:

${\displaystyle \varepsilon \mu ={\frac {1}{v^{2}}}}$

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Quando um campo elétrico é aplicado a um meio, uma corrente flui. A corrente total que percorre um material real está, em geral, composta de duas partes: uma corrente de condução e uma de indução. A corrente de indução pode ser pensada como a resposta elástica de um material ao campo elétrico aplicado. Ao aumentar a magnitude do campo elétrico, a corrente de indução é armazenada no material, e quando a intensidade do campo diminui, o material libera a corrente. A indução elétrica pode ser separada entre uma contribuição do vácuo e uma do material:

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\varepsilon _{0}\chi \mathbf {E} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} \left(1+\chi \right),}$

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onde P é a polarização do meio e ${\displaystyle \chi }$ é a susceptibilidade elétrica. Se deduz que a permissividade relativa e a suscetibilidade de um material estão relacionadas, ${\displaystyle \varepsilon _{r}=\chi +1}$.

No eletromagnetismo, a corrente de deslocamento é taxa de variação do fluxo do vetor deslocamento elétrico.^[1][2] Tem dimensão de corrente elétrica e, portanto, é expressa em amperes no Sistema Internacional de Unidades.

Índice

• 1Histórico
• 2Explicação
  • 2.1Dielétricos isotrópicos
• 3Necessidade da corrente de deslocamento
  • 3.1Generalizando a lei circuital de Ampère
    • 3.1.1Corrente em capacitores
    • 3.1.2Formulação matemática
  • 3.2Propagação de ondas
• 4História e interpretação
• 5Referências
• 6Ver também
• 7Ligações externas
  • 7.1Artigos de Maxwell
  • 7.2Leitura adicional

Histórico

A ideia foi concebida por Maxwell em seu artigo Acerca das Linhas Físicas de Força, de 1861, em conexão com o deslocamento de partículas elétricas num meio dielétrico. Maxwell acrescentou a corrente de deslocamento ao termo da corrente elétrica na Lei de Ampère. Em seu artigo Teoria Dinâmica do Campo Eletromagnético, de 1861, Maxwell usa esta versão modificada da Lei de Ampère para deduzir a equação da onda eletromagnética. Esta dedução é aceita atualmente como um marco histórico da física, em virtude da unificação da eletricidade, magnetismo e ótica numa só teoria. Atualmente, o termo corrente de deslocamento é visto como um complemento crucial que completa as equações de Maxwell, e é necessário para explicar muitos fenômenos, principalmente a existência das ondas eletromagnéticas.

Explicação

O campo deslocamento elétrico é definido como:

${\displaystyle {\boldsymbol {D}}=\varepsilon _{0}{\boldsymbol {E}}+{\boldsymbol {P}}\ }$

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onde:

ε₀ é a permissividade do espaço livre

E é a intensidade do campo elétrico

P é a polarização do meio

Diferenciando esta equação em relação ao tempo, define-se a densidade de corrente de deslocamento que, portanto, se compõe de dois termos em um dielétrico:^[3]

${\displaystyle {\boldsymbol {J}}_{\boldsymbol {D}}=\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\boldsymbol {E}}}{\partial t}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {P}}}{\partial t}}\ .}$

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O primeiro termo do 2º membro está presente nos meios materiais e no espaço livre. Ele não implica necessariamente em qualquer movimento real das cargas, mas possui um campo magnético associado, tal como uma corrente devido a cargas em movimento. Alguns autores aplicam o termo corrente de deslocamento somente para essa contribuição.^[4]

O segundo termo do 2º membro está associado com a polarização das moléculas individuais do material dielétrico. A polarização ocorre quando as cargas das moléculas se movem um pouco sob a influência de um campo elétrico aplicado. As cargas positivas e negativas das moléculas se separam, causando um aumento do estado de polarização P. Um estado de polarização variável corresponde a um movimento de cargas e por isso é equivalente a uma corrente.

Esta polarização é a corrente de deslocamento, tal como foi originalmente definida por Maxwell. Maxwell não fez nenhum tratamento especial para o vácuo, tratando-o como um meio material. Para Maxwell, o efeito de P era simplesmente variar a permissividade relativa ε_r na relação D = ε_rε₀ E.

A justificativa atual para a corrente de deslocamento é explicada abaixo.

Dielétricos isotrópicos

No caso de um material dielétrico muito simples, a relação constitutiva é:

${\displaystyle {\boldsymbol {D}}=\varepsilon {\boldsymbol {E}}\ ,}$

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onde na permissividade ε = ε₀ ε_r,

• ε_r é a permissividade relativa do dielétrico, e
• ε₀ é a constante dielétrica.

Nesta equação, o uso de ε explica a polarização do dielétrico.

O valor escalar da corrente de deslocamento também pode ser expresso em termos do fluxo elétrico:

${\displaystyle I_{\mathrm {D} }=\varepsilon {\frac {\partial \Phi _{E}}{\partial t}}.}$

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As formas em termos de ε estão corretas apenas para materiais isotrópicos lineares. Mais geralmente, ε pode ser substituído por um tensor e pode depender do campo elétrico em si, e pode apresentar dependência temporal (dispersão).

Para um dielétrico isotrópico linear, a polarização P é dada por:

${\displaystyle {\boldsymbol {P}}=\varepsilon _{0}\chi _{e}{\boldsymbol {E}}=\varepsilon _{0}(\varepsilon _{r}-1){\boldsymbol {E}}}$

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onde χ_e é conhecido como a susceptibilidade elétrica do dielétrico. Note que:

${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}=(1+\chi _{e})\varepsilon _{0}.}$

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Necessidade da corrente de deslocamento

Seguem da corrente de deslocamento algumas implicações que concordam com a observação experimental e o requerimento da consistência lógica para a teoria do eletromagnetismo.

Generalizando a lei circuital de Ampère

Corrente em capacitores

Capacitor sendo carregado e uma superfície cilíndrica imaginária ao redor da placa esquerda. A superfície da direita R encontra-se no espaço entre as placas, e a superfície da esquerda L está à esquerda da placa esquerda. Nenhuma corrente de condução entra na superfície cilíndrica R, enquanto que uma corrente I sai da superfície L. A consistência da lei de Ampère exige que uma corrente de deslocamento I_D = I flua através da superfície R.

Um exemplo que ilustra a necessidade da corrente de deslocamento surge em capacitores com nenhum meio entre as placas (espaço livre). Considere o capacitor da figura. O capacitor pertence a um circuito que transfere carga (por meio de um fio externo para o capacitor) da placa da esquerda para a placa da direita, carregando o capacitor e aumentando o campo elétrico entre suas placas. A mesma corrente que entra na placa da direita (digamos I) sai da placa da esquerda. Embora a corrente esteja fluindo através do capacitor, nenhuma carga real é transportada no vácuo entre suas placas. No entanto, existe um campo magnético entre as placas, como se uma corrente estivesse presente. A explicação é que uma corrente de deslocamento I_D flui no vácuo, e esta corrente produz o campo magnético na região entre as placas, de acordo com a lei de Ampère:^[5][6]

${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {B} \ {\boldsymbol {\cdot }}\ \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\mu _{0}I_{D}\ }$

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onde

• ${\displaystyle \oint _{C}}$ é a integral de linha em torno de uma curva fechada C qualquer.
• ${\displaystyle \mathbf {B} }$ é o campo magnético em tesla.
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\cdot }}\ }$ é o produto interno.
• ${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}$ é um elemento infinitesimal (diferencial) da curva C (isto é, um vetor com intensidade igual ao comprimento do elemento de linha infinitesimal e direção dada pela tangente à curva C).
• ${\displaystyle \mu _{0}\!\ }$ é a constante magnética, também chamada de permeabilidade do espaço livre.
• ${\displaystyle I_{D}\!\ }$ é a corrente de deslocamento líquida que liga a curva C.

O campo magnético entre as placas é o mesmo que fora das placas, assim a corrente de deslocamento deve ser a mesma que a corrente de condução nos fios. Ou seja,

${\displaystyle I_{D}=I\ ,}$

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o que amplia a noção de corrente além de um mero transporte de cargas.

Mais ainda, essa corrente de deslocamento está relacionada ao carregamento do capacitor. Considere a corrente na superfície cilíndrica imaginária mostrada em torno da placa esquerda. Uma corrente, digamos I, sai pela superfície esquerda L do cilindro, mas nenhuma corrente de condução (nenhum transporte real de cargas) entra na superfície da direita R. Perceba que o campo elétrico E entre as placas aumenta à medida que o capacitor carrega. Isto é, da maneira descrita pela lei de Gauss, assumindo que não há dielétricos entre as placas:

${\displaystyle Q(t)=\varepsilon _{0}\oint _{\mathcal {S}}d\mathbf {\mathcal {S}} \ {\boldsymbol {\cdot }}\ {\boldsymbol {E}}(t)\ ,}$

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onde S refere-se à superfície cilíndrica imaginária. Supondo um capacitor de placas paralelas com campo elétrico uniforme, e desprezando os efeitos de franjas nas bordas das placas, a diferenciação fornece:^[5]

${\displaystyle {\frac {dQ}{dt}}={\mathit {I}}=\varepsilon _{0}\oint _{\mathcal {S}}d\mathbf {\mathcal {S}} \ {\boldsymbol {\cdot }}\ {\frac {\partial {\boldsymbol {E}}}{\partial t}}\approx -{S}\ \varepsilon _{0}{\frac {\partial E}{\partial t}}\ ,}$

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onde o sinal é negativo porque a carga sai dessa placa (a taxa é decrescente), e S é a área da face R. O campo elétrico na face L é nulo porque o campo devido à carga sobre a placa da direita é compensado pela carga igual e oposta sobre a placa da esquerda. Com a hipótese de um campo elétrico distribuído uniformemente dentro do capacitor, a densidade de corrente de deslocamento J_D é determinada dividindo-se ${\displaystyle I_{D}}$ pela área da superfície:

${\displaystyle J_{D}={\frac {I_{D}}{S}}=-{\frac {I}{S}}=\varepsilon _{0}{\frac {\partial E}{\partial t}}={\frac {\partial D}{\partial t}}\ ,}$

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onde I é a corrente que sai da superfície cilíndrica (que deve ser igual a -I_D, já que a soma das duas correntes é nula) e J_D é o fluxo de carga por unidade de área na superfície cilíndrica através da face R .

Combinando esses resultados, o campo magnético é encontrado usando a forma integral da lei de Ampère com uma escolha arbitrária do contorno, desde que o termo densidade de corrente de deslocamento seja acrescentado à densidade de corrente de condução (a equação de Ampère-Maxwell):^[7]

${\displaystyle \oint _{\partial S}{\boldsymbol {B}}\cdot d{\boldsymbol {\ell }}=\mu _{0}\int _{S}({\boldsymbol {J}}+\epsilon _{0}{\frac {\partial {\boldsymbol {E}}}{\partial t}})\cdot d{\boldsymbol {S}}\,}$

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Esta equação diz que a integral do campo magnético B em torno de um contorno ∂S é igual à integral da corrente J através de qualquer superfície que se apóia no contorno mais o termo corrente de deslocamento ε₀ ∂E / ∂t através da superfície.^[8] Aplicando a equação de Ampère-Maxwell para a superfície S₁, encontramos:

${\displaystyle B={\frac {\mu _{0}I}{2\pi r}}\,}$

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No entanto, a aplicação desta lei para a superfície S₂, que é delimitada exatamente pela mesma curva ${\displaystyle \partial S}$, mas entre as placas, fornece:

${\displaystyle B={\frac {\mu _{0}I_{D}}{2\pi r}}\,}$

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Qualquer superfície que atravessa o fio tem uma corrente I o atravessando, assim a lei de Ampère fornece o campo magnético correto. Além disso, qualquer superfície limitada pelo mesmo contorno, mas que passa entre as placas do capacitor, não tem nenhuma carga fluindo através dela, mas o termo ε₀ ∂E / ∂t fornece uma segunda fonte para o campo magnético além da corrente de condução. Por causa da corrente estar aumentando a carga sobre as placas do capacitor, o campo elétrico entre as placas está aumentando e a taxa de variação do campo elétrico fornece o valor correto para o campo B encontrado acima.

Formulação matemática

Sob uma perspectiva mais matemática, os mesmos resultados podem ser obtidos a partir das equações diferenciais subjacentes. Considere, por simplicidade, um meio não-magnético onde a permeabilidade magnética relativa é 1, e as complicações da corrente de magnetização estão ausentes.^[9] A corrente que sai de um volume deve ser igual à taxa de diminuição da carga dentro do volume. Em forma diferencial, a equação da continuidade torna-se:

${\displaystyle \nabla {\boldsymbol {\cdot J_{f}}}=-{\frac {\partial \rho _{f}}{\partial t}}\ ,}$

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onde o lado esquerdo é a divergência da densidade de corrente livre e o lado direito é a taxa de decréscimo da densidade de carga livre. No entanto, a lei de Ampère na sua forma original afirma que:

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla \times B}}=\mu _{0}{\boldsymbol {J}}_{f}\ ,}$

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o que implica que a divergência da corrente se anula, contradizendo a equação de continuidade. (O anulamento da divergência é uma conseqüência da identidade matemática que afirma que a divergência do rotacional é sempre nula). Essa contradição é removida com a adição da corrente de deslocamento, já que:^[10][11]

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla \times B}}=\mu _{0}\left({\boldsymbol {J}}+\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\boldsymbol {E}}}{\partial t}}\right)=\mu _{0}\left({\boldsymbol {J}}_{f}+{\frac {\partial {\boldsymbol {D}}}{\partial t}}\right)\ ,}$

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e

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla \cdot }}\left({\boldsymbol {\nabla \times B}}\right)=0=\mu _{0}\left(\nabla \cdot {\boldsymbol {J}}_{f}+{\frac {\partial }{\partial t}}{\boldsymbol {\nabla \cdot D}}\right)\ ,}$

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que está de acordo com a equação da continuidade por causa da lei de Gauss:

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla \cdot D}}=\rho _{f}\ .}$

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Propagação de ondas

Representação esquemática de uma onda eletromagnética linearmente polarizada que se propaga ao longo do eixo horizontal para a direita.

A corrente de deslocamento também leva à propagação de ondas tomando-se o rotacional da equação do campo magnético. ^[12] Na situação particular em que não há polarização (P = 0), que ocorre no espaço livre, por exemplo, a corrente de deslocamento é:^[13]

${\displaystyle {\boldsymbol {J_{D}}}=\epsilon _{0}{\frac {\partial {\boldsymbol {E}}}{\partial t}}}$

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Substituindo esta forma de J na lei de Ampère, e assumindo que não há densidade de corrente ligada ou livre contribuindo para J:

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla \times B}}=\mu _{0}{\boldsymbol {J_{D}}}\ ,}$

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com o resultado:

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla \times }}\left({\boldsymbol {\nabla \times B}}\right)=\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}{\boldsymbol {\nabla \times E}}\ .}$

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Porém,

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla \times E}}=-{\frac {\partial }{\partial t}}{\boldsymbol {B}}\ ,}$

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o que leva à equação da onda:^[14]

${\displaystyle -{\boldsymbol {\nabla \times }}\left({\boldsymbol {\nabla \times B}}\right)=\nabla ^{2}{\boldsymbol {B}}=\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}{\boldsymbol {B}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}{\boldsymbol {B}}\ ,}$

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onde é feito o uso da identidade vetorial que vale para qualquer campo vetorial V(r, t):

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla \times }}\left({\boldsymbol {\nabla \times V}}\right)={\boldsymbol {\nabla }}\left({\boldsymbol {\nabla \cdot V}}\right)-\nabla ^{2}{\boldsymbol {V}}\ ,}$

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e o fato de que a divergência do campo magnético é nula. Uma equação de onda idêntica pode ser encontrada para o campo elétrico, tomando-se o rotacional:

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla \times }}\left({\boldsymbol {\nabla \times E}}\right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}{\boldsymbol {\nabla \times }}{\boldsymbol {B}}=-\mu _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\boldsymbol {J}}+\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}{\boldsymbol {E}}\right)\ .}$

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Se J, P e ρ são nulos (como no espaço livre), o resultado é:

${\displaystyle \nabla ^{2}{\boldsymbol {E}}=\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}{\boldsymbol {E}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}{\boldsymbol {E}}\ .}$

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O campo elétrico pode ser expresso na forma geral:

${\displaystyle {\boldsymbol {E}}=-{\boldsymbol {\nabla }}\varphi -{\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial t}}\ ,}$

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onde φ é o potencial elétrico (que pode ser escolhido de modo a satisfazer a equação de Poisson) e A é o potencial vetor.^[15] O termo ∇φ no lado direito vem da lei de Gauss, e este é o termo relevante para a conservação da carga, como argumentado acima. O segundo termo no lado direito é relevante para a equação da onda eletromagnética, porque é o termo que contribui para o rotacional de E. Por causa da identidade vetorial que diz que o rotacional do gradiente é zero, ∇φ não contribui para ∇×E.