O MUNDO DAS DIMENSÕES DE GRACELI

 

O MUNDO DAS DIMENSÕES DE GRACELI

novembro 16, 2021

 O MUNDO DAS DIMENSÕES DE GRACELI.

ONDE NÃO APENAS O ESPAÇO E O TEMPO SÃO SÃO DIMENSÕES, MAS TAMBÉM TODA FORMA DE ESTRUTURAS, ENERGIAS, CATEGORIAS, FENÔMENOS E ESTADOS FÍSICOS E QUÂNTICO E ESTADOS DE GRACELI. CONFIGURAÇÃO ELETRÔNICA , E OUTTOS

ONDE FORMAM O INFINITO-DIMENSIONAL DE GRACELI.

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA do INFINITO-DIMENSIONAL.

novembro 06, 2021

 TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA  do INFINITO-DIMENSIONAL. 

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA DIMENSIONAL.

outubro 27, 2021

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA DIMENSIONAL.

ONDE CADA INFINITA PARTÍCULA TEM INFINITAS DIMENSÕES FORMANDO UM SISTEMA GERAL UNIFICATÓRIO COM PADRÕES DE VARIAÇÕES CONFORME AS PARTÍCULA QUE NO CASO PASSAM A REPRESENTAR DIMENSÕES, PADRÕES DE ENERGIAS E E PADRÕES POTENCIAIS DE TRANSFORMAÇÕES, INTERAÇÕES CATEGORIAS FÍSICAS DE GRACELI E OUTROS.

NA TEORIA DAS CORDAS PARTÍCULAS SÃO REPRESNTADAS POR VIBRAÇÕES.

JÁ NA TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA DIMENSIONAL. NO CASO SÃO REPRENTADOS POR DIMENSÕES FÍSICAS E QUÍMICA DE GRACELI.

TEORIA FÍSICA DE GRACELI GENERALIZADA ENTRE SDCTIE , TENSORES DE GRACELI, NO :

sistema indeterminístico Graceli ; SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL

setembro 20, 2021

 sistema indeterminístico Graceli ;

SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL = sdctie graceli, sistema de infinitas dimensões +

SISTEMA DE TENSOR G+ GRACELI , ESTADOS FÍSICOS -QUÍMICO-FENOMÊNICO DE GRACELI CATEGORIAS E Configuração eletrônica dos elementos químicos

SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL.

 SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL.

COM  ELEMENTOS DO SISTEMA SDCTIE GRACELI, TENSOR G+ GRACELI CAMPOS E ENERGIA, E ENERGIA, E CONFIGURAÇÕES ELETRÔNICAS DOS ELEMENTOS QUÍMICO, E OUTRAS ESTRUTURAS.

ESTADO E NÚMERO QUÂNTICO, NÍVEIS DE ENERGIA DO ÁTOMO, FREQUÊNCIA. E OUTROS.

  TENSOR G+ GRACELI, SDCTIE GRACELI, DENSIDADE DE CARGA E DISTRIBUIÇÃO ELETRÔNICA, NÍVEIS DE ENERGIA, NÚMERO E ESTADO QUÂNTICO. + POTENCIAL DE SALTO QUÂNTICO RELATIVO AOS ELEMENTOS QUÍMICO COM O SEU RESPECTIVO  E ESPECÍFICO NÍVEL DE ENERGIA.

SISTEMA MULTIDIMENSIONAL  GRACELI

ONDE A CONFIGURAÇÃO ELETRÔNICA TAMBÉM PASSA A SER DIMENSÕES FÍSICO-QUÍMICA DE GRACELI.

Configuração eletrônica dos elementos químicos. [parte do sistema Graceli infinito-dimensional].

DENTRO DE UMA CONCEPÇÃO QUE CADA ÁTOMO É FORMADO DE INFINITAs OUTRAS PARTÍCULAS, E COM INFINITAS OUTRAS ENERGIAS, INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES, E OUTROS FENÔMENOS, LOGO SE TEM EM CADA ÁTOMO E OU ELEMENTO QUÍMICO INFINITAS OUTRAS DIMENSÕES. COM INFINITAS VARIAÇÕES NAS CATEGORIAS DE GRACELI , QUE  SÃO: OS POTENCIAIS, TIPOS, NÍVEIS, E TEMPO DE AÇÃO ESPECÍFICO  DO FENÔMENO.

ONDE NOS SISTEMAS  DE GRACELI CATEGORIAS,  FENÔMENOS, ESTADOS, ENERGIAS, ESTRUTURAS, E OUTROS SÃO TIPOS E FORMAS DE DIMENSÕES..

FLUXOS ALEATÓRIOS DE ENERGIAS ELÉTRICA,  E FLUXOS DE SALTOS QUÂNTICOS INFINITESIMAIS E INDETERMINADOS.

SENDO QUE VARIAM CONFORME O SISTEMA INFINITO-DIMENSIONAL.

O SISTEMA INFINITO-DIMENSIONAL DE GRACELI, ASSIM, COMO O SISTEMA SDCTIE GRACELI [SISTEMA ENVOLVENDO DIMENSÕES DE GRACELI, E SUAS CATEGORIAS, ESTADOS FÍSICOS E ESTADOS FÍSICOS DE GRACELI, TRANSFORMAÇÕES E INTERAÇÕES], E OS TENSORES DE GRACELI TEM AÇÃO EM TODA A FÍSICA EM TODOS OS SEUS RAMOS E E DIVISÕES, ASSIM, COMO A QUÍMICA E A BIOLOGIA, QUE TODOS ESTES SE FUNDAMENTEM EM ENERGIAS, ONDAS, ESTRUTURAS, CATEGORIAS, ESTADOS, ESPECTROS, DIMENSÕES, E OUTROS.

OU SEJA, DENTRO DE UM SISTEMA GERAL DE GRACELI TODA FÍSICA DAS ESTRTURUAS, ENERGIAS, ONDAS, DIMENSÕES, ESTADOS, E CATEGORIAS. ESTÃO INSERIDOS NESTES SISTEMA DE GRACELI.

dentro de uma concepção que a matéria é infinitésima em termos de tipos e ínfimos diâmetro, logo esta diferenciação faz com que cada ínfima e infinitésima parte tenha ações, transformações, interaçõs, potenciaidades, e outros diferentes de uma das outras. logo se tem infinitas dimensões para cada ínfima e infinitésima parte e tipo.

VEJAMOS;

Ferromagnetismo é o mecanismo básico pelo qual certos materiais (como ferro) formam ímãs permanentes, ou são atraídos por ímãs. Na física, vários tipos diferentes de magnetismo são distinguidos. Ferromagnetismo (incluindo ferrimagnetismo) é o tipo mais forte e é responsável por fenômenos comuns do magnetismo encontradas na vida cotidiana. Outras substâncias respondem fracamente a campos magnéticos com dois outros tipos de magnetismo o paramagnetismo, e o diamagnetismo, mas as forças são tão fracas que elas só podem ser detectadas por instrumentos sensíveis em um laboratório. Um exemplo corriqueiro de ferromagnetismo é um ímã de geladeira usado para guardar notas em uma porta do refrigerador.

Um material ferromagnético tem um momento magnético espontâneo – um momento magnético mesmo em um campo magnético aplicado igual a zero. A existência de um momento espontâneo sugere que os spins dos elétrons e os seus momentos magnéticos estão arranjados de uma maneira regular. O ferromagnetismo é encontrado em ligas binárias e ternárias de ferro, níquel, cobalto com outros elementos,^[1] alguns compostos de metais de terras raras, e alguns minerais de ocorrência natural, tais como magnetita.

• 9Bibliografia

História e distinção do ferrimagnetismo

Historicamente, o termo ferromagnético foi usado para qualquer material que exibisse magnetização espontânea, i.e, um momento magnético na ausência de um campo magnético externo. Esta definição geral é ainda de uso comum. Mais recentemente, no entanto, diferentes classes de magnetização espontânea foram identificadas. Em particular, um material é ferromagnético somente se todos os seus íons magnéticos adicionarem uma contribuição positiva para a magnetização líquida. Se alguns dos íons magnéticos subtrair a magnetização líquida (se forem parcialmente antialinhados), então o material é ferrimagnético. Se os momentos dos íons alinhados e antialinhados forem iguais, de modo a ter magnetização líquida zero, apesar do ordenamento magnético, então o material é um antiferromagneto. Estes efeitos de alinhamento só ocorrem em temperaturas abaixo de uma determinada temperatura crítica, denominada temperatura Curie (para ferromagnetos e ferrimagnetos) ou a temperatura Néel (para antiferromagneto).

Ciclo de histerese

Quando um campo magnético externo é aplicado a um ferromagneto como o ferro, os dipolos atômicos irão alinhar-se com ele. Mesmo quando o campo é removido, parte do alinhamento vai ser mantido: o material tornou-se magnetizado. Uma vez magnetizado, o imã vai ficar magnetizado por tempo indeterminado. Para desmagnetizar exige-se aplicação de calor ou de um campo magnético na direção oposta. Este é o efeito que fornece o elemento de memória em uma unidade de disco rígido.

A relação entre a indução magnética H e a magnetização M não é linear em tais materiais. Se um ímã é desmagnetizado (H = M = 0) e a relação entre H e M é plotada para aumento dos níveis de intensidade de campo, M segue a curva de magnetização inicial. Esta curva aumenta rapidamente no início e depois se aproxima de uma assíntota chamada saturação magnética. Se o campo magnético é agora reduzido monotonicamente, M segue uma curva diferente. Em uma intensidade de campo igual a zero, a magnetização é compensada a partir da origem de um montante chamado de remanência. Se a relação entre H e M for traçado para todas as forças de campo magnético aplicado o resultado é um ciclo de histerese chamado de loop principal.

Um olhar mais atento em uma curva de magnetização geralmente revela uma série de pequenos saltos aleatórios na magnetização chamados saltos Barkhausen. Este efeito é devido a defeitos cristalográficos tais como deslocamentos.

Origem física

O fenômeno da histerese em materiais ferromagnéticos é o resultado de dois efeitos: a rotação do vetor magnetização e as mudanças no tamanho ou número de domínios magnéticos. Em geral, a magnetização varia (em direção, mas não magnitude) através de um ímã.

Ímãs maiores são divididos em regiões chamadas de domínios. Em cada domínio, a magnetização não varia, mas entre os domínios temos paredes de domínio relativamente finas em que a direção da magnetização gira na direção de um domínio para outro. Se o campo magnético muda, as paredes se movem, mudando assim o tamanho relativo dos domínios.

Aplicações

Há uma grande variedade de aplicações da histerese em ferromagnetos. Muitos destes fazem uso de sua capacidade de reter memória, por exemplo, cartões de fita magnética, discos rígidos, e de crédito. Nestas aplicações, ímãs de disco rígido como o ferro são desejáveis para a memória não ser facilmente apagada.

Método de medição dos campos

O método descrito pelo ciclo de histerese mede o campo de indução magnética ${\displaystyle \mathbf {B} }$ em função do campo magnético ${\displaystyle \mathbf {H} }$. Se considerarmos um anel de material ferromagnético de seção A e raio R constante, envolvido por N espiras pelas quais passa uma corrente contínua I. Nesta situação, os campos são circulares dentro do anel e são desprezíveis fora dele. Deste modo se calcula o valor de ${\displaystyle \mathbf {H} }$ a partir da Lei de Ampère:

${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} =N\ I}$

///

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA do INFINITO-DIMENSIONAL.

e, como o anel tem simetria circular, a integral resulta:

${\displaystyle H\cdot 2\pi R=N\ I\Longrightarrow H={\frac {N\ I}{2\pi R}}}$

///

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA do INFINITO-DIMENSIONAL.

Levando em conta a permeabilidade magnética relativa do material ${\displaystyle \mu _{r}}$, é possível calcular o campo de indução magnética:

${\displaystyle B=\mu _{0}\mu _{r}\ H=\mu \ H}$

///

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA do INFINITO-DIMENSIONAL.

Este sistema é usado na prática para medir os dois campos ao variar a intensidade da corrente:

${\displaystyle H\cdot 2\pi R=N\ I}$

///

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA do INFINITO-DIMENSIONAL.

Uma vez medidos ${\displaystyle \mathbf {H} }$ e ${\displaystyle \mathbf {B} }$ se pode encontrar o valor da magnetização ${\displaystyle \mathbf {M} }$:

${\displaystyle \mathbf {H} ={\frac {\mathbf {B} -\mu _{0}\mathbf {M} }{\mu _{0}}}}$

///

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA do INFINITO-DIMENSIONAL.

Por meio desse procedimento é possível obter experimentalmente a curva de magnetização, ou a variação do campo magnético em função do vetor de indução magnética e, portanto, o ciclo de histerese.

Temperatura de Curie

Marie Curie foi a primeira a descobrir que existe uma temperatura crítica para cada material ferromagnético acima da qual o material se comporta como paramagnético. Quando a temperatura aumenta, o movimento térmico compete com a tendência ferromagnética para os dipolos se alinharem. Quando a temperatura sobe além de certo ponto, chamado de temperatura Curie, há uma transição de fase de segunda ordem e o sistema não pode mais manter uma magnetização espontânea, embora ainda responda paramagneticamente a um campo externo. Abaixo dessa temperatura, há uma quebra espontânea de simetria e forma-se domínios aleatórios (na ausência de um campo externo). A Susceptibilidade magnética segue a lei de Curie-Weiss:

${\displaystyle \chi _{m}={\frac {C\ \rho }{T-T_{c}}}}$

///

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA do INFINITO-DIMENSIONAL.

onde C é uma constante característica do material, ${\displaystyle \rho }$ sua densidade e ${\displaystyle T_{c}}$ a temperatura de Curie em kelvin.

Modelos teóricos

O ferromagnetismo representa um dos principais problemas em aberto da física do estado sólido. Existem dois modelos teóricos que o descrevam: o modelo de Ising e o modelo de Weiss, o qual será tratado a seguir, ambos sendo baseados na hamiltoniana de Werner Karl Heisenberg, mas que utilizam grandes aproximações.

Hamiltoniana de Heisenberg

A hamiltoniana para um par de elétrons pertencentes a átomos vizinhos é:

${\displaystyle H=H_{1}+H_{2}+V_{12}\ }$

///

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA do INFINITO-DIMENSIONAL.

onde ${\displaystyle H_{1}}$ e ${\displaystyle H_{2}}$ são as hamiltonianas apenas dos elétrons, e ${\displaystyle V_{12}}$ é a interação entre os dois.

Pelo princípio de exclusão de Pauli, a função de onda total deve ser antissimétrica. Assim, tem-se duas possibilidades:

${\displaystyle \varphi _{A}=\psi _{S}(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2})\chi _{A}(\mathbf {\sigma } _{1},\mathbf {\sigma } _{2})}$

///

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA do INFINITO-DIMENSIONAL.

ou

${\displaystyle \varphi _{A}=\psi _{A}(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2})\chi _{S}(\mathbf {\sigma } _{1},\mathbf {\sigma } _{2})}$

Onde os subscritos “A” ou “S” indicam uma função antissimétrica/simétrica.

As funções de onda de spin para um par de elétrons são:

${\displaystyle \chi _{S}:\left\{{\begin{matrix}|++\rangle \qquad [\mathbf {s} _{z}=1]\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|+-\rangle +|-+\rangle )\quad [\mathbf {s} _{z}=0]\\|--\rangle \qquad [\mathbf {s} _{z}=-1]\\\end{matrix}}\right.}$

${\displaystyle \chi _{A}:{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|+-\rangle -|-+\rangle )\quad [\mathbf {s} _{z}=0]}$

///

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA do INFINITO-DIMENSIONAL.

As funções de onda “espaciais” são:

${\displaystyle \psi _{S}:{\frac {1}{\sqrt {2}}}(\psi _{1}(\mathbf {r} _{1})\psi _{2}(\mathbf {r} _{2})+\psi _{1}(\mathbf {r} _{2})\psi _{2}(\mathbf {r} _{1}))}$

${\displaystyle \psi _{A}:{\frac {1}{\sqrt {2}}}(\psi _{1}(\mathbf {r} _{1})\psi _{2}(\mathbf {r} _{2})-\psi _{1}(\mathbf {r} _{2})\psi _{2}(\mathbf {r} _{1}))}$

///

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA do INFINITO-DIMENSIONAL.

Efetuando um cálculo perturbativo sobre tais funções de onda obtêm-se:

${\displaystyle E=\left\{{\begin{matrix}E_{0}+J\quad \rightarrow \quad \varphi _{1}=\psi _{S}\chi _{A}\\E_{0}-J\quad \rightarrow \quad \varphi _{2}=\psi _{A}\chi _{S}\\\end{matrix}}\right.}$

///

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA do INFINITO-DIMENSIONAL.

Onde J é conhecida como integral de troca, que está relacionada com a Interação de Troca, interação responsável pela tendência dos momentos magnéticos do material a permanecerem paralelos entre si. A hamiltoniana separa, então, os estados com spins diferentes, e por este motivo, Heisenberg encontrou um operador que distinguisse os estados com spin diferente e que então pudesse descrever a interação precedente. Tal operador é:

${\displaystyle \mathbf {s} _{1}\cdot \mathbf {s} _{2}=\left\{{\begin{matrix}-{\frac {3}{4}}\quad \rightarrow \varphi _{1}\\{\frac {1}{4}}\quad \rightarrow \varphi _{2}\\\end{matrix}}\right.}$

Logo, a Hamiltoniana de Heisenberg é:

${\displaystyle H_{Heisenberg}=-2J\mathbf {s} _{1}\cdot \mathbf {s} _{2}}$

///

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA do INFINITO-DIMENSIONAL.

Modelo de Weiss

O modelo de Weiss propõe a generalização da hamiltoniana de Heisenberg para um sistema com mais elétrons, utilizando uma aproximação de campo médio: um elétron sofre uma interação devida à média do campo gerado pelos outros elétrons.

A Hamiltoniana do sistema torna-se então:

${\displaystyle H_{magn}=g_{0}\mu _{B}\mathbf {s} (\mathbf {r} )\cdot \mathbf {B} -\sum _{\mathbf {r} '}J(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\mathbf {s} (\mathbf {r} )\mathbf {s} (\mathbf {r} ')=s(\mathbf {r} )\cdot \langle g_{0}\mu _{B}\mathbf {B} -\sum _{\mathbf {r} '}J(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\mathbf {s} (\mathbf {r} ')\rangle =}$

${\displaystyle =s(\mathbf {r} )g_{0}\mu _{B}\left(\mathbf {B} -{\frac {1}{g_{0}\mu _{B}}}\sum _{\mathbf {r} '}J(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\mathbf {\langle } s(\mathbf {r} ')\rangle \right)}$

///

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA do INFINITO-DIMENSIONAL.

onde ${\displaystyle g_{0},\mu _{B}}$ são, respectivamente o fator giromagnético e o magnéton de Bohr.

Substituindo o momento magnético:

${\displaystyle \mathbf {m} =-g_{0}\mu _{B}\mathbf {s} }$

///

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA do INFINITO-DIMENSIONAL.

E o vetor magnetização:

${\displaystyle \mathbf {M} ={\frac {N}{V}}\langle \mathbf {m} \rangle }$

Tem-se:

${\displaystyle H_{magn}=-\mathbf {m} (\mathbf {r} )\left(\mathbf {B} +\sum _{\mathbf {r} '}{\frac {J(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{(g_{0}\mu _{B})^{2}}}{\frac {V}{N}}\mathbf {M} \right)}$

///

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA do INFINITO-DIMENSIONAL.

Logo:

${\displaystyle H_{magn}=-\mathbf {m} (\mathbf {r} )(\mathbf {B} +\lambda \mathbf {M} )}$

///

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA do INFINITO-DIMENSIONAL.

Percebe-se uma analogia com o paramagnetismo de Langevin, no qual se faz o mesmo tipo de estudo, substituindo-se o campo magnético por um campo magnético eficaz, dado por:

${\displaystyle \mathbf {B} +\lambda \mathbf {M} }$.

///

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA do INFINITO-DIMENSIONAL.

Existe, assim, uma temperatura crítica de Curie:

${\displaystyle T_{C}={\frac {J_{0}s(s+1)}{3k}}}$

///

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA do INFINITO-DIMENSIONAL.

Abaixo da qual se manifestam os efeitos do ferromagnetismo. As quantidades “s” e “k” são os autovalores do spin e a constante de Boltzmann respectivamente, enquanto ${\displaystyle J_{0}}$ é dado por:

${\displaystyle \sum _{\mathbf {r} '}{\frac {J(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{(g_{0}\mu _{B})^{2}}}}$

Materiais ferromagnéticos

A seguir, temos uma tabela com alguns materiais ferromagnéticos e suas respectivas temperaturas de Curie.

Material	Temp. Curie (K)
Fe	1 043
Co	1 388
Ni	627
Gd	292
Dy	88
MnAs	318
MnBi	630
MnSb	587
CrO2	386
MnOFe2O3	573
FeOFe2O3	858
NiOFe23	858
CuOFe2O3	728
MgOFe23	713
EuO	69
Y3Fe5O12	560

Ferromagnetismo é uma propriedade não apenas da composição química de um material, mas de sua estrutura cristalina e organização microscópica. Existem ligas de metal ferromagnético cujos constituintes não são próprios ferromagnéticos, chamado ligas de Heusler, em homenagem a Fritz Heusler. Por outro lado existem ligas não-magnéticas, como os tipos de aço inoxidável, compostas quase exclusivamente de metais ferromagnéticos.

No caso dos aços inoxidáveis, por exemplo, os da série 300,

///

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA do INFINITO-DIMENSIONAL.

 austeníticos (TP 304 ou TP 316), que contêm cromo e níquel em sua composição química, não são magnéticos em seu estado recozido (mole) e são levemente magnéticos no estado encruado (duro). Já os aços inoxidáveis da série 400, ferríticos (TP 439 ou TP 444), que contêm apenas cromo em sua composição química, estes sim são magnéticos. Ademais, os aços inoxidáveis austeníticos, conquanto sejam, a priori, não magnéticos, podem ainda se tornarem parcialmente magnéticos ao sofrerem esforço mecânico durante um processo de conformação que lhes acarrete uma transformação de fase. ^[2][3]

Também se pode fazer ligas metálicas amorfas (não cristalinas) ferromagnéticas por resfriamento muito rápido de uma liga líquida. Estes têm a vantagem de que suas propriedades são quase isotrópicas (não alinhadas ao longo de um eixo do cristal), o que resulta em baixa coercividade, perda de baixa histerese, permeabilidade alta e alta resistividade elétrica. Um material desse tipo é normalmente uma transição liga metal-metalóide, feita a partir de cerca de 80% de metal de transição (normalmente Fe, Co, ou Ni) e um componente de metalóide (B, C, Si, P, ou Al) que reduz o ponto de fusão.

Uma classe relativamente nova de materiais ferromagnéticos excepcionalmente fortes são os ímãs de terras raras. Eles contêm elementos lantanídeos, que são conhecidos por sua capacidade de transportar grandes momentos magnéticos no bem localizado oribital f.

A histerese é a tendência de um sistema de conservar suas propriedades na ausência de um estímulo que as gerou, ou ainda, é a capacidade de preservar uma deformação efetuada por um estímulo. Podem-se encontrar diferentes manifestações desse fenômeno. A histerese mais conhecida ocorre no magnetismo^[1], mas também pode ocorrer em diversas áreas como mecânica clássica^[2], tráfego^[3], biologia^[4], epidemiologia^[5] entre outras^[6][7]. A palavra "histerese" deriva do grego antigo υστέρησις, que significa 'retardo', que foi cunhada por James Alfred Ewing em 1890.

Índice

• 1Saturação magnética
  • 1.1Inconveniente da saturação
  • 1.2Histerese magnética
  • 1.3Exemplo de histerese com metais
• 2Eletrônica
• 3Referências

Saturação magnética

Quando um campo magnético ${\displaystyle {\vec {H}}}$ (ampere-espira por metro) é aplicado a um material ferromagnético, passa a circular neste uma densidade de fluxo magnética (ou indução magnética) ${\displaystyle {\vec {B}}}$ (tesla = weber por metro quadrado). A relação entre densidade de fluxo e campo magnético é dada pela expressão ${\displaystyle {\vec {B}}=\mu {\vec {H}}}$^[8].

///

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA do INFINITO-DIMENSIONAL.

Para uma geometria fixa, como o caso de uma bobina com núcleo fixo ou transformador, uma variação do campo magnético ${\displaystyle {\vec {H}}}$ é dada por uma variação na corrente da bobina que está sendo alimentada. Quanto maior a corrente ${\displaystyle I\,({\rm {{A})}}}$, maior o campo magnético ${\displaystyle {\vec {H}}\,({\rm {{A/m})}}}$^[9].

Na região magnética linear ${\displaystyle {\vec {B}}=\mu {\vec {H}}}$ com ${\displaystyle \mu }$ constante (e da ordem de ${\displaystyle 1000\mu _{0}}$ ou mais), contudo, à medida que o campo magnético cresce, o material entra em uma região não linear (saturação magnética), onde ${\displaystyle \mu }$ passa a diminuir à medida que a saturação cresce.

Inconveniente da saturação

Quando atingida a saturação o transformador, mesmo a vazio, passa a demandar correntes maiores para manter o fluxo magnético imposto pela tensão. A relação entre fluxo magnético e tensão induzida é dada pela Lei de Faraday^[10]. Uma das formas de expressá-la é por ${\displaystyle \varepsilon =-n{\frac {{\text{d}}\phi }{{\text{d}}t}}}$, onde ${\displaystyle \phi }$ é o fluxo magnético, ${\displaystyle t}$ é o tempo , ${\displaystyle n}$ o número de espiras e ${\displaystyle \varepsilon }$ é a tensão induzida. Para simplificar a análise (e sem prejuízo de conceitos) consideraremos a tensão induzida no primário igual a tensão aplicada pela fonte.

Imaginando uma tensão de entrada sinusoidal ${\displaystyle v\left(t\right)={{v}_{0}}\sin \left(\omega t\right)}$, o fluxo demandado pelo núcleo do transformador será dado por ${\displaystyle \phi =-{\frac {1}{n}}\int {v\left(t\right)\,\,{\text{d}}t}={\frac {1}{n}}\omega {{v}_{0}}\cos \left(\omega t\right)}$,

///

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA do INFINITO-DIMENSIONAL.

 ou seja, o fluxo é diretamente proporcional a tensão e a frequência de entrada. Trabalhando mais um pouco, pode-se chegar a expressão que o fluxo de pico de um sinal sinusoidal é dado por ${\displaystyle {{\phi }_{p}}={\frac {v_{rms}}{{\sqrt {2}}\pi nf}}}$, 

///

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA do INFINITO-DIMENSIONAL.

onde ${\displaystyle f}$ é a frequência em hertz.

A densidade de fluxo que atenda ao fluxo demandado é dada pela relação ${\displaystyle B={\frac {\phi }{A}}}$, onde ${\displaystyle A}$ é a área da secção transversal à passagem do fluxo magnético^[10]. Associada a densidade de fluxo magnético está o campo magnético ${\displaystyle {\vec {H}}}$ que o gera, dado por ${\displaystyle H={\frac {B}{\mu }}}$. Perceba que com a redução da permeabilidade (na saturação), um maior campo magnético muito maior é demandado, e este, por fim, está associado à corrente elétrica ${\displaystyle I}$ que o gera, que por consequência, pode aumentar para valores muito acima dos nominais, mesmo com o transformador a vazio.

Para evitar este inconveniente deve-se trabalhar com valores baixos de saturação, limitando a tensão aplicada, aumentando a área de ferro ou aumentando a qualidade dos materiais.

Histerese magnética

Laço de Histerese.

1. Aumenta-se a densidade de fluxo magnética (ou indução magnética) ${\displaystyle {\vec {B}}}$ aplicada a um material ferromagnético até a saturação. A relação entre campo e densidade de fluxo neste intervalo é dada por ${\displaystyle {\vec {B}}=\mu {\vec {H}}}$. Quando mais saturado o material menor o valor da permeabilidade ${\displaystyle \mu }$.
2. Diminuí-se a densidade de fluxo e como consequência também o campo ${\displaystyle {\vec {H}}}$ diminui. Contudo, quando ${\displaystyle {\vec {H}}}$ chega a zero (corrente zero), ainda existe uma densidade de fluxo remanescente, ${\displaystyle {\vec {B}}_{r}}$ (o material fica imantado).
3. Para que ${\displaystyle {\vec {B}}}$ chegue a zero, é necessário aplicar um campo negativo, chamado de força coercitiva, ${\displaystyle {\vec {H}}_{c}}$.
4. Se ${\displaystyle {\vec {H}}}$ continuar aumentando no sentido negativo, o material é magnetizado com polaridade oposta. Desse modo, a magnetização inicialmente será fácil, até quando se aproxima da saturação, passando a ser difícil.
5. A redução do módulo do campo novamente a zero deixa uma densidade de fluxo remanescente, ${\displaystyle -{\vec {B}}_{r}}$, e, para reduzir ${\displaystyle {\vec {B}}}$ a zero, deve-se aplicar uma força coercitiva ${\displaystyle {\vec {H}}_{c}}$ no sentido positivo.
6. Aumentando-se mais ainda o campo, o material fica novamente saturado, com a polaridade inicial.

Nesse fenômeno, observa-se o atraso entre densidade de fluxo e campo magnético (${\displaystyle {\vec {B}}\neq 0}$ quando ${\displaystyle {\vec {H}}=0}$), chamado de histerese magnética.

O ciclo traçado pela curva de magnetização é chamado de ciclo de histerese.

Uma família de curvas de histerese medida com uma densidade de fluxo modulada sinusoidal com frequência de 50 Hz (período de 0,02 s) e campo magnético variável de 0,3 T a 1,7 T.

B = Campo magnético [T] ou [Wb/m²]
H = Intensidade de campo magnético [A/m] ou [A.e/m]
B_R = Remanescência
H_C = Coercividade

Exemplo de histerese com metais

Quando o ferro não está magnetizado, seus domínios magnéticos estão dispostos de maneira desordenada e aleatória. Porém, ao aplicar uma força magnetizante, os domínios se alinham com o campo aplicado. Se invertemos o sentido do campo, os domínios também inverterão sua orientação. Num transformador, o campo magnético muda de sentido muitas vezes por segundo, de acordo com o sinal alternado aplicado. E o mesmo ocorre com os domínios do material do núcleo. Ao inverter sua orientação, os domínios precisam superar o atrito e a inércia. Ao fazer isso, dissipam uma certa quantidade de potência na forma de calor, que é chamada de perda por histerese.

Em determinados materiais, a perda por histerese é muito grande. O ferro doce é um exemplo. Já no aço, esse tipo de perda é menor. Por isso, alguns transformadores de grande potência utilizam um tipo de liga especial de ferro-silício, que apresenta uma perda por histerese reduzida. Esse tipo de problema também aumenta junto com a frequência do sinal. Um transformador que apresenta baixa perda nas frequências menores, pode ter uma grande perda por histerese ao ser usado com sinais de frequências mais altas.

A histerese produz-se devido ao gasto de energia para inverter os dipolos durante uma mudança de campo magnético.

A Superfície de Fermi é definida como a superfície de energia constante ${\displaystyle \epsilon _{F}}$ no espaço recíproco. Na temperatura do zero absoluto, a superfície de Fermi separa os orbitais vazios dos orbitais ocupados. Como a corrente elétrica se deve a mudanças na ocupação dos estados próximos da superfície de Fermi, a forma e volume desta determina as propriedades elétricas de um metal. Além disso, a superfície de Fermi também é útil para determinar propriedades térmicas, magnéticas e ópticas dos metais.

Índice

• 1Teoria
• 2Construção da superfície de Fermi
• 3Medidas experimentais envolvendo a superfície de Fermi
  • 3.1ARPES - Espectroscopia de fotoemissão resolvida em ângulo
  • 3.2STM - Microscopia de tunelamento
• 4Ver também
• 5Referências

Teoria

Muitas das propriedades de um material podem ser calculadas ignorando a dinâmica das interações dos elétrons entre si e com rede cristalina. Porém, existem aproximações de interações fracas entre elétrons e a rede, ou seja, assumindo que eles se movem em um potencial periódico fixo que é criado por uma rede perfeitamente rigida de íons e por uma distribuição média de elétrons.

Como estamos interessados em descrever apenas os elétrons exteriores, podemos incluir ao potencial efetivo um termo fortemente repulsivo representando o principio de exclusão de Pauli e o fato das funções de onda do núcleo e do estado de condução serem ortogonais entre si. Esse potencial é chamado de pseudopotencial e é aproximadamente zero, devido a soma do termo repulsivo e do termo atrativo, para a maior parte dos casos.

As soluções da equação de Schrodinger com um pseudopotencial fornecem o número de autoestados da partícula única, e variam continuamente com o vetor de onda k, assim elas podem ser expressas como uma sequência de funções continuas de k, ${\displaystyle \Psi _{n}(\mathbf {k,r} ),E_{n}(\mathbf {k} )}$, onde n é o número da n-ésima banda de energia.

Essas funções são periódicas no espaço recíproco, e para contar cada estado apenas uma vez, vamos nos restringir apenas à primeira zona de Brillouin. Na temperatura de zero absoluto, os elétrons em um sólido preenchem os estados de energia começando pelo estado mais baixo. O número total de elétrons determina quantas bandas disponíveis serão preenchidas com elétrons e se as últimas bandas serão preenchidas ou ficarão parcialmente vazias. Como estamos interessados em estudar os metais, vamos considerar apenas os casos onde as bandas são parcialmente preenchidas.

Se a n-ésima banda está parcialmente preenchida, os orbitais ocupados e os orbitais vazios da primeira zona de Brillouin são separados pela superfície de Fermi, que é definida como ${\displaystyle E_{n}(\mathbf {k_{F}} )=E_{F}}$, onde a energia de Fermi, ${\displaystyle E_{F}}$, é a mais alta energia para a qual existe um estado ocupado.

Um modelo simples para superfície de Fermi, o gás de elétrons livre, é obtido negligenciando os efeitos da não uniformidade do potencial sentido pelos elétrons na banda de condução. A energia de cada elétron é dada pela energia de partícula livre^[1]:

${\displaystyle E(\mathbf {k} )={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\mathbf {k} ^{2}}$

///

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA do INFINITO-DIMENSIONAL.

onde estados de baixa energia ${\displaystyle E(\mathbf {k} )<E_{F}}$ preenchem uma esfera perfeita quando a temperatura é igual a zero; a superfície de Fermi é esférica. Para a maioria dos metais essa é uma ótima aproximação para a superfície de Fermi, especialmente pra metais monovalentes, onde a esfera de Fermi encontra-se totalmente na primeira zona de Brillouin.

Construção da superfície de Fermi

A Figura mostra as três primeiras zonas de Brillouin para uma rede quadrada. O circulo é uma superfície de energia constante para elétrons livres e corresponde a superfície de Fermi para um certo valor da concentração de elétrons. A área total da região ocupada por elétrons no espaço recíproco depende apenas dessa grandeza e é, portanto, independente da interação dos elétrons com a rede. No caso real a superfície de Fermi depende da interação dos elétrons com a rede e, portanto, não é um circulo perfeito.

Devido a inconveniência de se representar as regiões da superfície de Fermi que pertencem a mesma zona em diferentes partes do gráfico, utiliza-se o esquema de zona reduzido. A Figura mostra a superfície de Fermi de elétrons livres da Figura no esquema de zonas reduzido.

As regiões sombreadas representam estados ocupados por elétrons. Partes da superfície de Fermi se estendem até a segunda, terceira e quarta zonas. A quarta zona não está representada na figura, a primeira zona está totalmente ocupada.

Para passar das superfícies de Fermi de elétrons livres para elétrons quase livres de forma quantitativa é necessário a realização de complexos cálculos matemáticos, porém existe uma uma maneira qualitativa de se prever as formas das superfícies de Fermi para elétrons quase livres, levando em consideração os seguintes fatos:

• A interação do elétron com o potencial periódico da rede dá origem a zonas proibidas nos limites da zona de Brillouin.
• Quase sempre a superfície de Fermi intercepta os limites das zonas perpendicularmente.
• O potencial da rede arredonda os vértices das superfícies de Fermi.
• O volume total contido na superfície de Fermi não depende dos detalhes da interação com a rede, mas depende quase exclusivamente da concentração de elétrons.

As superfícies de Fermi para elétrons livres podem ser construídas usando o método de Harrison. Nele são determinados os pontos de rede reciproca e uma esfera de elétrons livres, de raio apropriado para a concentração de elétrons, é traçada com centro em cada um desses pontos. Qualquer ponto do espaço reciproco que esteja no interior de pelo menos uma esfera corresponde a um estado ocupado na primeira zona. Os pontos que estão no interior de pelo menos duas esferas correspondem a estados ocupados da segunda zona e assim por diante.

Medidas experimentais envolvendo a superfície de Fermi

A superfície de Fermi nos metais é uma prova de que os elétrons no sistema podem ser tratados através da teoria de quase-partículas.

Foi analisado nas seções anteriores que esta superfície é crucial para o entendimento de propriedades térmicas, magnéticas, elétricas e ópticas. Neste sentido, experimentalmente é necessária a existência de ferramentas específicas de modo a elucidar quais os materiais existentes ou mesmo descobrir quais são os formatos da superfície de fermi de determinado composto.

Neste sentido, existem diversas técnicas, como a aplicação do efeito De Haas-van Alphen Effect entre outras que pautam pela utilização de altos campos magnéticos para que ocorra a diferenciação de períodos de oscilação e assim possa-se medir indiretamente o modo com o qual os estados ocupados do material e portanto podendo inferir na superfície de Fermi.

Atualmente, duas técnicas tem tido destaque para se resolver as superfícies de fermi: ARPES, espectroscopia de fotoemissão angularmente resolvida, e STM, microscópio de tunelamento.

ARPES - Espectroscopia de fotoemissão resolvida em ângulo

An Experimental Setup of Angle-Resolved Photoemission Spectroscopy

A técnica ARPES é baseada no efeito fotoelétrico, explicado em 1905 por Einstein através do conceito de quanta de energia.

Neste efeito, os elétrons de um material podem absorver um fóton e serem ejetados se a energia do respectivo fóton é maior que a função trabalho do material.

O ARPES funciona da seguinte forma: Uma linha de radiação branca é produzida, através da utilização de um monocromador uma determinada linha é selecionada, esse comprimento de onda é então iluminado em uma amostra. Um detector então analisa os fotoelétrons emitidos pela amostra registrando a energia e o ângulo de incidência do feixe. As resoluções atuais são de aproximadamente 2 meV e 0,2° em sofisticados experimentos feitos em síncrotrons ao redor do mundo.

${\displaystyle \hbar k_{i||}=\hbar k_{f||}={\sqrt {2mE}}sin\theta }$

///

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA do INFINITO-DIMENSIONAL.

${\displaystyle k_{iT}={\frac {1}{\hbar }}{\sqrt {2m(E_{f}cos^{2}\theta +V)}}}$

///

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA do INFINITO-DIMENSIONAL.

Ao se registrar os ângulos e as energias, é possível através da conservação de energia e do momento da onda nas direções paralela e perpendicular, registrar o valor de V0 que é a distância da energia de Fermi ao nível do vácuo. Fazendo-se um mapa para diversos vetores de onda k, é possível construir um mapa da superfície de Fermi.

Uma das maiores desvantagens da técnica ARPES é a falta de uma informação da superfície de fermi do material como um todo, pois somente é possível a análise de determinadas direções de uma só vez, e devido ao tempo de aquisição das medidas, não é possível garantir que as distribuições eletrônicas permaneçam constantes por longos intervalos temporais.

STM - Microscopia de tunelamento

A microscopia de tunelamento, uma técnica com capacidade de imageamento em espaço real, com poder de resolução atômica de superfícies. O STM funciona através da varredura de uma ponta sobre uma amostra. Através da análise da corrente de tunelamento, é possível obter uma espécie de topografia de seu material.

Diferentemente do que ocorre com o ARPES, onde é possível a análise da superfície de fermi, pode-se analisar um determinado material como todo.

Para isso, é necessária a introdução do material a ser analisado dentro de uma outra amostra conhecida. Através da utilização da sobreposição das funções de onda da amostra e da ponta e da regra de ouro de Fermi, foi notado que se o material a ser investigado tem simetria diferente da esférica na superfície de Fermi, como é o caso do Au, Cu e Ag, o espalhamento da onda de tunelamento medida pela ponta será no espaço recíproco (feito através de transformada de Fourier) será a medida da superfície de Fermi de seu material.

Um exemplo de uma superfície de Fermi obtida através do STM é a indicada na Figura, em que é possível visualizar como seria a densidade de estados ocupados de um átomo de cobalto em uma amostra de cobre.

Na física do estado sólido, a estrutura eletrônica de bandas, ou simplesmente estrutura de bandas, se refere à estrutura formada ao se explicitar a relação entre os momentos e energias permitidos e os momentos e energias não permitidos aos elétrons em uma amostra material, usualmente elétrons em um cristal. Há faixas "contínuas" de momentos e energias permitidos separadas por faixas contínuas de momentos e energias não permitidos aos elétrons confinados à amostra.

A relação precisa entre momento e energia para os elétrons na matéria condensada é descrita por uma relação de dispersão específica; que em cristais, por ser dependente da orientação, assume a forma tridimensional. Nela identifica-se com facilidade uma "estrutura em bandas" ao se explicitarem as faixas de momentos e energias permitidas em relação àquelas não permitidas aos elétrons.

A discretização da energia e também do momento surge naturalmente da equação de onda de Schrödinger, dadas certas condições de contorno. Por exemplo, quanto a elétrons confinados a um cristal, derivam-se da periodicidade imposta pelas posições dos íons na rede cristalina.

Índice

• 1Por que bandas ocorrem?
• 2O exemplo do gás de elétrons numa rede cristalina
• 3Estrutura de bandas para diferentes materiais
  • 3.1Isolantes e semicondutores
  • 3.2Condutores
  • 3.3Isolantes topológicos
    • 3.3.1Efeito Hall quântico de spin
• 4Métodos de cálculo da estrutura eletrônica
  • 4.1Método de elétrons quase livres
  • 4.2Método de Tight Binding
  • 4.3Teoria do Funcional da Densidade
• 5Ver também
• 6Referências
• 7Bibliografia

Por que bandas ocorrem?

De forma simplificada, e que será exposta de maneira mais rigorosa matematicamente no exemplo do gás de elétrons, as bandas ocorrem pois cada átomo individual possui níveis quantizados de energia que podem ser ocupados por elétrons. De acordo com o princípio de exclusão de Pauli, dois elétrons em uma molécula não podem haver os mesmos números quânticos, ou seja, quando dois átomos idênticos se combinam, cada orbital atômico é dividido em dois orbitais atômicos para possibilitar o preenchimento dos mesmos pelos elétrons sem ocuparem o mesmo nível de energia.

Em um sólido cristalino, com ${\displaystyle N}$ átomos próximos entre si, cada orbital atômico irá se dividir em ${\displaystyle N}$ orbitais. Isso ocorre pois cada momento angular eletrônico irá aparecer combinado com cada momento angular dos outros elétrons uma só vez e, por conta do princípio de exclusão de Pauli, isso irá gerar uma quantidade ${\displaystyle N}$ orbitais para cada orbital atômico previamente existente. Já que em um sólido cristalino real, ${\displaystyle N}$ é um número muito elevado, as distâncias entre os orbitais que originaram de um mesmo subnível de energia tendem a zero, formando as chamadas bandas de energia: um intervalo "contínuo" de energia que pode ser ocupado pelos elétrons e ao mesmo tempo, resultando no surgimento dos espaçamento entre as bandas, intervalos que possuem níveis de energia proibida que os elétrons não podem ocupar.^[1]

O exemplo do gás de elétrons numa rede cristalina

Nesta seção, será considerado um exemplo, a fim de apresentar conceitos importantes na teoria eletrônica de bandas, os quais incluem a quantização da energia, densidade de estados, número médio de ocupação, e energia e temperatura de Fermi. O gás de elétrons é um modelo simples para elétrons não interagentes em uma rede cristalina. Nesse modelo, consideramos um total de N elétrons, cada um com energia cinética ${\displaystyle {p^{2}/2m}}$, ${\displaystyle m}$ massa do elétron e ${\displaystyle p}$ o seu momento. Assim, a Hamiltoniana no espaço de posições é escrita

${\displaystyle {\hat {H}}\Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},...,\mathbf {r} _{N})=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\sum _{i=1}^{N}\nabla _{i}^{2}\Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},...,\mathbf {r} _{N}),}$

///

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA do INFINITO-DIMENSIONAL.

e a Equação de Schrödinger fica

${\displaystyle E\Psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\sum _{i=1}^{N}\nabla _{i}^{2}\Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},...,\mathbf {r} _{N}).}$

///

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA do INFINITO-DIMENSIONAL.

Ao impor condições periódicas de contorno (${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} _{1}+\mathbf {L} ,\mathbf {r} _{2},...,\mathbf {r} _{N})=\Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},...,\mathbf {r} _{N})}$), obtemos uma discretização dos pontos ${\displaystyle k}$ do espaço recíproco, tais que ${\displaystyle k^{2}=k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}=\left(n_{x}^{2}/L_{x}^{2}+n_{y}^{2}/L_{y}^{2}+n_{z}^{2}/L_{z}^{2}\right),\;n_{x},n_{y},n_{z}=0,1,2,3,...}$,

///

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA do INFINITO-DIMENSIONAL.

 os quais implicam na discretização da energia, pois ${\displaystyle E=\hbar ^{2}k^{2}/2m.}$

A base utilizada é muito importante em diversos problemas de mecânica quântica, que é a base do número de ocupações de estados. Nessa perspectiva, denotamos cada estado do sistema por ${\displaystyle \phi _{i}}$, o qual está ocupado por um total de ${\displaystyle n_{i}}$ partículas. Assim, uma possível configuração do sistema é denotada por ${\displaystyle |n_{1},n_{2},...,n_{i},...,n_{N}\rangle }$. Por último, antes de prosseguirmos, lembramos que elétrons são Férmions, ou seja, eles respeitam a condição de antissimetria da função de onda: ${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},...,\mathbf {r} _{N})=-\Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},...,\mathbf {r} _{N})}$. Disso, decorre uma característica chamada de Princípio de Exclusão de Pauli, o qual diz que férmions não podem ocupar o mesmo estado simultaneamente (${\displaystyle n_{i}\in \{0,1\}}$). O gás de elétrons respeita o vínculo ${\displaystyle \sum _{j=1}^{+\infty }n_{j}=N}$, de forma que a energia total é dada pela soma sobre todas as energias de cada possível estado (${\displaystyle \epsilon _{j}}$), ponderada pelo número de ocupação, ${\displaystyle E\{n_{j}\}=\sum _{j=1}^{+\infty }n_{j}\epsilon _{j}}$.

///

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA do INFINITO-DIMENSIONAL.

O desenvolvimento a partir daqui consiste em escrever a função de partição ${\displaystyle Z(T,V,N)}$ do sistema, e notar que ela soma apenas sobre os estados que satisfazem o vínculo de N fixo. Por isso, a soma não pode ser efetuada. No entanto, pelo ensemble grande canônico, é possível efetuar a soma e obter a grande função de partição ${\displaystyle \Xi (T,V,\mu )}$. Após algumas contas, conseguimos escrever uma expressão para a média do j-ésimo número de ocupação, isto é, obter a chamada distribuição de Fermi-Dirac, mostrada abaixo.

${\displaystyle \left\langle n_{j}\right\rangle ={\frac {1}{\Xi }}\sum _{\{n_{j}\}}n_{j}\exp(\beta \sum _{j}(\mu -\epsilon _{j}))=-{\frac {1}{\beta }}{\frac {\partial \ln \Xi }{\partial \epsilon _{j}}}}$

${\displaystyle \implies \;\left\langle n_{j}\right\rangle ={\frac {1}{1+\exp(-\beta (\mu -\epsilon _{j}))}},}$

///

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA do INFINITO-DIMENSIONAL.

em que ${\displaystyle \beta =1/Tk_{B}}$ (veja Figura ao lado). Assim, podemos definir a função de Dirac, ${\displaystyle f(E)=1/(1+\exp(\beta (\mu -E)))}$ . Com ela, podemos expressar o limite contínuo de muitos estados ${\displaystyle n_{j}}$ como

Distribuição de Fermi-Dirac para diferentes valores de temperatura. Em T=0 K, o valor máximo de energia obtido é a chamada energia de Fermi. Note que, nesta figura, ${\displaystyle \epsilon _{F}=1}$. Tomamos ${\displaystyle \mu =1}$ para melhor ilustração. Para fazer o gráfico, foi utilizado o software Mathematica 12.

${\displaystyle nd\epsilon =f(\epsilon )\rho (\epsilon )d\epsilon ,}$

///

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA do INFINITO-DIMENSIONAL.

em que ${\displaystyle \rho (\epsilon )}$ denota a densidade de estados. Essa quantidade emerge da generalização do caso discreto para o caso contínuo de números de pontos ${\displaystyle k}$, dada pela relação abaixo, na qual contabilizamos também os estados possíveis decorrentes do spin ${\displaystyle s=1/2}$ do elétron, que são no total ${\displaystyle 2s+1}$ estados para cada valor de ${\displaystyle \mathbf {k} }$.

${\displaystyle \sum _{m_{s},\mathbf {k} }\rightarrow {\frac {(2s+1)V}{(2\pi )^{3}}}\int d^{3}\mathbf {k} }$

///

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA do INFINITO-DIMENSIONAL.

Essa integral pode ser reescrita em coordenadas esféricas, o que nos dá um termo diferencial de ${\displaystyle dk(k\sin \theta d\phi )(kd\theta )}$. Se a função a ser integrada só depende de ${\displaystyle k}$, então as integrais angulares nos dão um termo de ${\displaystyle 4\pi }$, e ganhamos um termo ${\displaystyle k^{2}}$ na integral. No entanto, como notamos anteriormente, a relação entre ${\displaystyle k}$ e a energia ${\displaystyle \epsilon }$ é ${\displaystyle k{{}^{2}}=2m\epsilon /\hbar {{}^{2}}}$, logo, ${\displaystyle dk={\sqrt {\frac {2m}{\epsilon }}}d\epsilon /2\hbar }$ . Portanto, a integral na energia fica apenas

${\displaystyle \int d\epsilon \;\rho (\epsilon )\equiv \int d\epsilon {\frac {(2s+1)V}{2\pi ^{2}}}{\frac {2m\epsilon }{\hbar ^{2}}}{\sqrt {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}}{\frac {1}{2\epsilon ^{1/2}}}}$

${\displaystyle \implies \;\rho (\epsilon )={\frac {(2s+1)V}{4\pi ^{2}}}\left({\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\right)^{3/2}\epsilon ^{1/2}.}$

///

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA do INFINITO-DIMENSIONAL.

Com isso, podemos calcular a energia do sistema, segundo definido anteriormente,

${\displaystyle E=\sum _{j}n_{j}\epsilon _{j}=\int _{0}^{+\infty }\epsilon n(\epsilon )d\epsilon =\int _{0}^{+\infty }\epsilon f(\epsilon )\rho (\epsilon )d\epsilon }$

${\displaystyle \implies \;E={\frac {(2s+1)V}{4\pi ^{2}}}\left({\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\right)^{3/2}\int _{0}^{+\infty }\epsilon ^{3/2}f(\epsilon )d\epsilon }$

///

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA do INFINITO-DIMENSIONAL.

Portanto, a média do número de ocupação, dada pela distribuição de Fermi-Dirac, define os valores de energia que serão contabilizados para a energia total, isto é, os estados de energia ${\displaystyle \epsilon }$ ocupados. Com isso, podemos notar um limite muito interessante, que é aquele de ${\displaystyle T\rightarrow 0}$. Sob essa condição, a função de Fermi tende a uma função degrau (veja Figura ilustrativa acima). Por sua vez, esse degrau é 1 de 0 até um certo valor de energia e zero a partir dele. Logo, os níveis de energia ocupados em ${\displaystyle T=0}$ estão limitados até esse valor de energia, o qual chamarmos de energia de Fermi, ${\displaystyle \epsilon _{F}}$. Podemos calcular esse último valor de energia ocupado a partir do vínculo ${\displaystyle N=\sum _{j}n_{j}}$, escrito no caso contínuo, apenas lembrando que ${\displaystyle f(\epsilon )}$ torna-se uma função degrau que atua de zero até ${\displaystyle \epsilon _{F}}$, como feito abaixo.

${\displaystyle N=\sum _{j}n_{j}=\int _{0}^{+\infty }n(\epsilon )d\epsilon ={\frac {(2s+1)V}{4\pi ^{2}}}\left({\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\right)^{3/2}\int _{0}^{\epsilon _{F}}\epsilon ^{1/2}d\epsilon }$

${\displaystyle \implies \;\epsilon _{F}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {N}{V}}{\frac {6\pi ^{2}}{(2s+1)}}\right)^{2/3}\;{\text{e}}\;k_{B}T_{F}=\epsilon _{F}}$.

///

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA do INFINITO-DIMENSIONAL.

Então, encontramos que a energia de Fermi (último valor de energia ocupado quando ${\displaystyle T=0}$) só depende do spin (${\displaystyle s=1/2}$ para o elétron), da massa e da densidade de partículas, ${\displaystyle N/V}$. Também definimos a chamada Temperatura de Fermi, ${\displaystyle T_{F}}$. Esse valor de temperatura fornece uma estimativa de validade da aproximação de gás de elétrons, de forma que para temperaturas maiores que ${\displaystyle T_{F}}$, interações entre os elétrons devem ser mais relevantes. Além disso, a ideia de ter uma energia máxima admitida pelo sistema nos leva a definir um vetor de Fermi no espaço de pontos ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle k_{F}={\sqrt {2m\epsilon _{F}}}/\hbar }$. Esse vetor define uma superfície de valor constante de energia no espaço recíproco, superfície a qual é chamada de superfície de Fermi, quando o número de pontos ${\displaystyle k}$ é quase contínuo.^[2]

Estrutura de bandas para diferentes materiais

A estrutura das bandas eletrônicas de um dado material afeta diretamente em que grau se dará a condução elétrica no mesmo, ou seja, se o material, quando submetido a uma diferença de potencial se mostra um isolante, condutor, semicondutor ou isolante topológico.

Somente os elétrons com energia maiores que a energia de Fermi são considerados elétrons livres e participam ativamente no processo de condução elétrica, então é de se esperar que a energia de Fermi, juntamente com o espaçamento entre bandas, estejam diretamente ligados ao grau de condução eletrônica.

Isolantes e semicondutores

Em materiais isolantes, há um grande espaçamento entre a banda de valência que se encontra preenchida com elétrons e as bandas com energias permitidas de condução na qual os elétrons podem se mover com maior facilidade, então, para que um elétron seja "promovido" de uma banda a outra, é preciso fornecer energia o suficiente para ele superar esse grande espaçamento, que geralmente é em torno de alguns eletron-volts. Isso resulta então em materiais pouco condutores ou isolantes que necessitam de muita energia para excitar os elétrons e promover a condução.

Já para os semicondutores, esse espaçamento entre as bandas com níveis proibidos de energia é menor, possibilitando que alguns elétrons sejam excitados para a banda de condução.

Existem dois tipos de espaçamento entre bandas, o direto e o indireto. Se o mínimo de energia da banda de condução e o máximo de energia da banda de valência tiverem o mesmo momento cristalino na zona de Brillouin, o espaçamento é do tipo direto e os elétrons podem ser excitados para a banda de condução sem a necessidade de ter seu momento alterado. Se o momento cristalino for distinto, o espaçamento é dito indireto e os elétrons não podem ser excitados sem que haja uma alteração em seu momento.^[1]

Condutores

Materiais condutores, como os metais, podem apresentar dois tipos distintos de estrutura de bandas. O primeiro tipo é caracterizado por uma superposição entre a banda de condução e a banda de valência (com estados preenchidos e não preenchidos). O segundo tipo pode ser caracterizado por uma banda de valência com estados preenchidos e não preenchidos e um pequeno espaçamento entre a banda de valência e uma banda vazia superior. Ou seja, ambos os tipos de estrutura apresentam grande facilidade em excitar os elétrons para níveis superiores de energia onde eles podem se mover facilmente.^[1]

Isolantes topológicos

Esta seção não cita fontes confiáveis e independentes. Ajude a inserir referências. O conteúdo não verificável pode ser removido.—Encontre fontes: Google (notícias, livros e acadêmico) (Dezembro de 2020)

Um isolante topológico é um material que, em seu interior, comporta-se como isolante, mas possui em sua superfície estados condutores, ou seja, os elétrons se movem ao longo de sua superfície. No bulk de um isolante com topologia não-interagente a estrutura de banda eletrônica é idêntica a de um isolante comum, com o nível de Fermi caindo entre as bandas de valência e bandas condutoras, como pode ser visto na figura seguinte:

Estrutura de bandas idealizada para um isolante topológico.

Enquanto a simetria de reversão temporal for mantida a banda de condução do isolante topológicos não pode ser perturbada por pequenas alteração de carga com o estado de condução da superfície estando protegidos pela simetria. Na presença de campos magnéticos, a superfície passa a ter um estado isolante. Há cristais que na presença de campos magnéticos possuem um estado condutor e na ausência passam a ter um estado isolante na superfície, estes são chamados de isolantes topológicos magnéticos.

Efeito Hall quântico de spin

Quando argumentamos que a degenerescência do ponto de Dirac é protegida pela inversão e simetria de reversão temporal foi ignorado o spin do elétron. A órbita de spin permite um novo termo na equação 1 em que leva a um estado de isolante

${\displaystyle {\mathcal {H}}=-\imath \hbar v_{F}(\sigma ^{x}\tau ^{z}\partial _{x}+\sigma ^{y}\partial _{y})}$

///

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA do INFINITO-DIMENSIONAL.

o grau de liberdade de rotação permite um novo termo de massa na forma

${\displaystyle \delta {\mathcal {H}}^{SO}=\lambda _{SO}\sigma ^{z}\tau ^{z}s^{z}}$

///

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA do INFINITO-DIMENSIONAL.

Tomando separadamente, o Hamiltoniano para ${\displaystyle s^{z}=\pm 1}$ spin viola a simetria de reversão temporal e são equivalentes ao modelo de Haldane para um único elétron, que dá a condutividade ${\displaystyle \pm e^{2}/h}$.

Métodos de cálculo da estrutura eletrônica

Existem várias maneiras de se estudar o aparecimento de bandas de energia em um sólido:

Método de elétrons quase livres

Esta seção não cita fontes confiáveis e independentes. Ajude a inserir referências. O conteúdo não verificável pode ser removido.—Encontre fontes: Google (notícias, livros e acadêmico) (Dezembro de 2020)

Considere um gás de elétrons presos em uma caixa do tamanho do sólido que você esta interessado. Esta é uma ótima aproximação de um metal. Devido ao princípio de exclusão de Pauli e a efeitos de blindagem, os níveis de energia antes disponíveis, podem agora apresentar gaps pequenos. Esta é a idéia básica para a se estudar a estrutura eletrônica de banda de elétrons quase livres.

Método de Tight Binding

Esta seção não cita fontes confiáveis e independentes. Ajude a inserir referências. O conteúdo não verificável pode ser removido.—Encontre fontes: Google (notícias, livros e acadêmico) (Dezembro de 2020)

Considere os átomos que formam o seu sólido e a estrutura eletrônica dos elétrons nestes átomos. Imagine que os átomos de seu sólido estão muito separados, uma distância grande o suficiente para que os elétrons em órbita de uma átomo não percebam a presença de outros elétrons em outros átomos. Se agora, em teoria, você começar a diminuir a distância entre estes átomos em algum momento os elétrons começarão a interagir. Os elétrons mais exteriores com certeza serão muito mais afetados pela presença dos outros átomos que os elétrons nas camadas mais internas. Usando as estrutura eletrônica atômica original e esta interação é possível calcular-se as alterações causadas no níveis atômicos e observar o aparecimento de bandas de elétrons e gaps de energia. Este é a ideias utilizada na teoria de tight binding (aproximação de primeiros vizinhos) para a estrutura eletrônica de bandas.

Outros métodos importantes são o ${\displaystyle k\cdot p}$ (lê-se k escalar p), e métodos com Funções de Green.

Teoria do Funcional da Densidade

Em princípio, os níveis de energia dos elétrons em um material que possui ${\displaystyle N}$ elétrons interagentes entre si podem ser calculados resolvendo-se a equação de Schröedinger para o hamiltoniano,

${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {T}}+{\hat {V}}+{\hat {V}}_{ee}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\sum _{i=1}^{N}\nabla _{i}^{2}+\sum _{i=1}^{N}v(\mathbf {r_{i}} )+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}\sum _{j>i}^{N}{\frac {1}{\|\mathbf {r_{i}} -\mathbf {r_{j}} \|}}}$,

///

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA do INFINITO-DIMENSIONAL.

isto é, obtendo-se os autovalores da energia para os autovetores da função de onda do sistema.

Como todos os elétrons interagem entre si e a função de onda do sistema depende de ${\displaystyle 3N}$ variáveis espaciais, o esforço computacional para resolver a equação de Schröedinger se torna proibitivo até mesmo para pequenos valores de ${\displaystyle N}$, de forma que este método não se mostra viável para sistemas maiores.

O método da teoria do funcional da densidade (DFT) introduz uma abordagem diferente para calcular os níveis de energia dos elétrons: no lugar da função de onda, utiliza-se a densidade do sistema no estado fundamental, que depende apenas das 3 variáveis espaciais. Desta forma, a complexidade computacional do problema é reduzida drasticamente, viabilizando o cálculo dos níveis de energia eletrônicos do sistema.

Através do princípio variacional de Hohenbeg-Kohn, constrói-se um modelo para uma partícula efetiva, resultando em equações de Schröedinger chamadas de equações de Kohn-Sham, que são da forma

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+v_{ef}(\mathbf {r} )=\varepsilon _{i}\varphi _{i}(\mathbf {r} )}$.

///

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA do INFINITO-DIMENSIONAL.

As soluções dessas equações fornecem as energias de Kohn-Sham; já a densidade do sistema no estado fundamental é obtida a partir do determinante de Slater para N orbitais de partículas únicas,

${\displaystyle n(\mathbf {r} )=\sum _{i}^{occ}\|\varphi _{i}(\mathbf {r} )\|^{2}}$,

///

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA do INFINITO-DIMENSIONAL.

sujeitas a um potencial efetivo ${\displaystyle v_{ef}[n](\mathbf {r} )}$, que depende funcionalmente da densidade ^[3]

Desta forma, é possível comparar diretamente as estruturas de banda de Kohn-Sham obtidas com medidas experimentais das bandas de energia, verificando-se que as estruturas obtidas estão de acordo com as medidas experimentalmente diversos casos. Em particular, o método da teoria do funcional da densidade é capaz de capturar o formato da estrutura de bandas de diversos metais simples. No entanto, o método apresenta dificuldade em descrever as estruturas de bandas de materiais isolantes e semicondutores, uma vez que o espaço de valores inacessíveis (gap) entre as bandas é subestimado sistematicamente.^[4]

Na física do estado sólido, a estrutura eletrônica de bandas, ou simplesmente estrutura de bandas, se refere à estrutura formada ao se explicitar a relação entre os momentos e energias permitidos e os momentos e energias não permitidos aos elétrons em uma amostra material, usualmente elétrons em um cristal. Há faixas "contínuas" de momentos e energias permitidos separadas por faixas contínuas de momentos e energias não permitidos aos elétrons confinados à amostra.

A relação precisa entre momento e energia para os elétrons na matéria condensada é descrita por uma relação de dispersão específica; que em cristais, por ser dependente da orientação, assume a forma tridimensional. Nela identifica-se com facilidade uma "estrutura em bandas" ao se explicitarem as faixas de momentos e energias permitidas em relação àquelas não permitidas aos elétrons.

A discretização da energia e também do momento surge naturalmente da equação de onda de Schrödinger, dadas certas condições de contorno. Por exemplo, quanto a elétrons confinados a um cristal, derivam-se da periodicidade imposta pelas posições dos íons na rede cristalina.

Índice

• 1Por que bandas ocorrem?
• 2O exemplo do gás de elétrons numa rede cristalina
• 3Estrutura de bandas para diferentes materiais
  • 3.1Isolantes e semicondutores
  • 3.2Condutores
  • 3.3Isolantes topológicos
    • 3.3.1Efeito Hall quântico de spin
• 4Métodos de cálculo da estrutura eletrônica
  • 4.1Método de elétrons quase livres
  • 4.2Método de Tight Binding
  • 4.3Teoria do Funcional da Densidade
• 5Ver também
• 6Referências
• 7Bibliografia

Por que bandas ocorrem?

De forma simplificada, e que será exposta de maneira mais rigorosa matematicamente no exemplo do gás de elétrons, as bandas ocorrem pois cada átomo individual possui níveis quantizados de energia que podem ser ocupados por elétrons. De acordo com o princípio de exclusão de Pauli, dois elétrons em uma molécula não podem haver os mesmos números quânticos, ou seja, quando dois átomos idênticos se combinam, cada orbital atômico é dividido em dois orbitais atômicos para possibilitar o preenchimento dos mesmos pelos elétrons sem ocuparem o mesmo nível de energia.

Em um sólido cristalino, com ${\displaystyle N}$ átomos próximos entre si, cada orbital atômico irá se dividir em ${\displaystyle N}$ orbitais. Isso ocorre pois cada momento angular eletrônico irá aparecer combinado com cada momento angular dos outros elétrons uma só vez e, por conta do princípio de exclusão de Pauli, isso irá gerar uma quantidade ${\displaystyle N}$ orbitais para cada orbital atômico previamente existente. Já que em um sólido cristalino real, ${\displaystyle N}$ é um número muito elevado, as distâncias entre os orbitais que originaram de um mesmo subnível de energia tendem a zero, formando as chamadas bandas de energia: um intervalo "contínuo" de energia que pode ser ocupado pelos elétrons e ao mesmo tempo, resultando no surgimento dos espaçamento entre as bandas, intervalos que possuem níveis de energia proibida que os elétrons não podem ocupar.^[1]

O exemplo do gás de elétrons numa rede cristalina

Nesta seção, será considerado um exemplo, a fim de apresentar conceitos importantes na teoria eletrônica de bandas, os quais incluem a quantização da energia, densidade de estados, número médio de ocupação, e energia e temperatura de Fermi. O gás de elétrons é um modelo simples para elétrons não interagentes em uma rede cristalina. Nesse modelo, consideramos um total de N elétrons, cada um com energia cinética ${\displaystyle {p^{2}/2m}}$, ${\displaystyle m}$ massa do elétron e ${\displaystyle p}$ o seu momento. Assim, a Hamiltoniana no espaço de posições é escrita

${\displaystyle {\hat {H}}\Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},...,\mathbf {r} _{N})=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\sum _{i=1}^{N}\nabla _{i}^{2}\Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},...,\mathbf {r} _{N}),}$

///

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA do INFINITO-DIMENSIONAL.

e a Equação de Schrödinger fica

${\displaystyle E\Psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\sum _{i=1}^{N}\nabla _{i}^{2}\Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},...,\mathbf {r} _{N}).}$

///

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA do INFINITO-DIMENSIONAL.

Ao impor condições periódicas de contorno (${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} _{1}+\mathbf {L} ,\mathbf {r} _{2},...,\mathbf {r} _{N})=\Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},...,\mathbf {r} _{N})}$), obtemos uma discretização dos pontos ${\displaystyle k}$ do espaço recíproco, tais que ${\displaystyle k^{2}=k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}=\left(n_{x}^{2}/L_{x}^{2}+n_{y}^{2}/L_{y}^{2}+n_{z}^{2}/L_{z}^{2}\right),\;n_{x},n_{y},n_{z}=0,1,2,3,...}$, os quais implicam na discretização da energia, pois ${\displaystyle E=\hbar ^{2}k^{2}/2m.}$

A base utilizada é muito importante em diversos problemas de mecânica quântica, que é a base do número de ocupações de estados. Nessa perspectiva, denotamos cada estado do sistema por ${\displaystyle \phi _{i}}$, o qual está ocupado por um total de ${\displaystyle n_{i}}$ partículas. Assim, uma possível configuração do sistema é denotada por ${\displaystyle |n_{1},n_{2},...,n_{i},...,n_{N}\rangle }$. Por último, antes de prosseguirmos, lembramos que elétrons são Férmions, ou seja, eles respeitam a condição de antissimetria da função de onda: ${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},...,\mathbf {r} _{N})=-\Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},...,\mathbf {r} _{N})}$. Disso, decorre uma característica chamada de Princípio de Exclusão de Pauli, o qual diz que férmions não podem ocupar o mesmo estado simultaneamente (${\displaystyle n_{i}\in \{0,1\}}$). O gás de elétrons respeita o vínculo ${\displaystyle \sum _{j=1}^{+\infty }n_{j}=N}$, de forma que a energia total é dada pela soma sobre todas as energias de cada possível estado (${\displaystyle \epsilon _{j}}$), ponderada pelo número de ocupação, ${\displaystyle E\{n_{j}\}=\sum _{j=1}^{+\infty }n_{j}\epsilon _{j}}$.

///

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA do INFINITO-DIMENSIONAL.

O desenvolvimento a partir daqui consiste em escrever a função de partição ${\displaystyle Z(T,V,N)}$ do sistema, e notar que ela soma apenas sobre os estados que satisfazem o vínculo de N fixo. Por isso, a soma não pode ser efetuada. No entanto, pelo ensemble grande canônico, é possível efetuar a soma e obter a grande função de partição ${\displaystyle \Xi (T,V,\mu )}$. Após algumas contas, conseguimos escrever uma expressão para a média do j-ésimo número de ocupação, isto é, obter a chamada distribuição de Fermi-Dirac, mostrada abaixo.

${\displaystyle \left\langle n_{j}\right\rangle ={\frac {1}{\Xi }}\sum _{\{n_{j}\}}n_{j}\exp(\beta \sum _{j}(\mu -\epsilon _{j}))=-{\frac {1}{\beta }}{\frac {\partial \ln \Xi }{\partial \epsilon _{j}}}}$

${\displaystyle \implies \;\left\langle n_{j}\right\rangle ={\frac {1}{1+\exp(-\beta (\mu -\epsilon _{j}))}},}$

///

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA do INFINITO-DIMENSIONAL.

em que ${\displaystyle \beta =1/Tk_{B}}$ (veja Figura ao lado). Assim, podemos definir a função de Dirac, ${\displaystyle f(E)=1/(1+\exp(\beta (\mu -E)))}$ . Com ela, podemos expressar o limite contínuo de muitos estados ${\displaystyle n_{j}}$ como

Distribuição de Fermi-Dirac para diferentes valores de temperatura. Em T=0 K, o valor máximo de energia obtido é a chamada energia de Fermi. Note que, nesta figura, ${\displaystyle \epsilon _{F}=1}$. Tomamos ${\displaystyle \mu =1}$ para melhor ilustração. Para fazer o gráfico, foi utilizado o software Mathematica 12.

${\displaystyle nd\epsilon =f(\epsilon )\rho (\epsilon )d\epsilon ,}$

///

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA do INFINITO-DIMENSIONAL.

em que ${\displaystyle \rho (\epsilon )}$ denota a densidade de estados. Essa quantidade emerge da generalização do caso discreto para o caso contínuo de números de pontos ${\displaystyle k}$, dada pela relação abaixo, na qual contabilizamos também os estados possíveis decorrentes do spin ${\displaystyle s=1/2}$ do elétron, que são no total ${\displaystyle 2s+1}$ estados para cada valor de ${\displaystyle \mathbf {k} }$.

${\displaystyle \sum _{m_{s},\mathbf {k} }\rightarrow {\frac {(2s+1)V}{(2\pi )^{3}}}\int d^{3}\mathbf {k} }$

///

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA do INFINITO-DIMENSIONAL.

Essa integral pode ser reescrita em coordenadas esféricas, o que nos dá um termo diferencial de ${\displaystyle dk(k\sin \theta d\phi )(kd\theta )}$. Se a função a ser integrada só depende de ${\displaystyle k}$, então as integrais angulares nos dão um termo de ${\displaystyle 4\pi }$, e ganhamos um termo ${\displaystyle k^{2}}$ na integral. No entanto, como notamos anteriormente, a relação entre ${\displaystyle k}$ e a energia ${\displaystyle \epsilon }$ é ${\displaystyle k{{}^{2}}=2m\epsilon /\hbar {{}^{2}}}$, logo, ${\displaystyle dk={\sqrt {\frac {2m}{\epsilon }}}d\epsilon /2\hbar }$ . Portanto, a integral na energia fica apenas

${\displaystyle \int d\epsilon \;\rho (\epsilon )\equiv \int d\epsilon {\frac {(2s+1)V}{2\pi ^{2}}}{\frac {2m\epsilon }{\hbar ^{2}}}{\sqrt {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}}{\frac {1}{2\epsilon ^{1/2}}}}$

${\displaystyle \implies \;\rho (\epsilon )={\frac {(2s+1)V}{4\pi ^{2}}}\left({\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\right)^{3/2}\epsilon ^{1/2}.}$

///

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA do INFINITO-DIMENSIONAL.

Com isso, podemos calcular a energia do sistema, segundo definido anteriormente,

${\displaystyle E=\sum _{j}n_{j}\epsilon _{j}=\int _{0}^{+\infty }\epsilon n(\epsilon )d\epsilon =\int _{0}^{+\infty }\epsilon f(\epsilon )\rho (\epsilon )d\epsilon }$

${\displaystyle \implies \;E={\frac {(2s+1)V}{4\pi ^{2}}}\left({\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\right)^{3/2}\int _{0}^{+\infty }\epsilon ^{3/2}f(\epsilon )d\epsilon }$

///

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA do INFINITO-DIMENSIONAL.

Portanto, a média do número de ocupação, dada pela distribuição de Fermi-Dirac, define os valores de energia que serão contabilizados para a energia total, isto é, os estados de energia ${\displaystyle \epsilon }$ ocupados. Com isso, podemos notar um limite muito interessante, que é aquele de ${\displaystyle T\rightarrow 0}$. Sob essa condição, a função de Fermi tende a uma função degrau (veja Figura ilustrativa acima). Por sua vez, esse degrau é 1 de 0 até um certo valor de energia e zero a partir dele. Logo, os níveis de energia ocupados em ${\displaystyle T=0}$ estão limitados até esse valor de energia, o qual chamarmos de energia de Fermi, ${\displaystyle \epsilon _{F}}$. Podemos calcular esse último valor de energia ocupado a partir do vínculo ${\displaystyle N=\sum _{j}n_{j}}$, escrito no caso contínuo, apenas lembrando que ${\displaystyle f(\epsilon )}$ torna-se uma função degrau que atua de zero até ${\displaystyle \epsilon _{F}}$, como feito abaixo.

${\displaystyle N=\sum _{j}n_{j}=\int _{0}^{+\infty }n(\epsilon )d\epsilon ={\frac {(2s+1)V}{4\pi ^{2}}}\left({\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\right)^{3/2}\int _{0}^{\epsilon _{F}}\epsilon ^{1/2}d\epsilon }$

${\displaystyle \implies \;\epsilon _{F}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {N}{V}}{\frac {6\pi ^{2}}{(2s+1)}}\right)^{2/3}\;{\text{e}}\;k_{B}T_{F}=\epsilon _{F}}$.

///

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA do INFINITO-DIMENSIONAL.

Então, encontramos que a energia de Fermi (último valor de energia ocupado quando ${\displaystyle T=0}$) só depende do spin (${\displaystyle s=1/2}$ para o elétron), da massa e da densidade de partículas, ${\displaystyle N/V}$. Também definimos a chamada Temperatura de Fermi, ${\displaystyle T_{F}}$. Esse valor de temperatura fornece uma estimativa de validade da aproximação de gás de elétrons, de forma que para temperaturas maiores que ${\displaystyle T_{F}}$, interações entre os elétrons devem ser mais relevantes. Além disso, a ideia de ter uma energia máxima admitida pelo sistema nos leva a definir um vetor de Fermi no espaço de pontos ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle k_{F}={\sqrt {2m\epsilon _{F}}}/\hbar }$. Esse vetor define uma superfície de valor constante de energia no espaço recíproco, superfície a qual é chamada de superfície de Fermi, quando o número de pontos ${\displaystyle k}$ é quase contínuo.^[2]

Estrutura de bandas para diferentes materiais

A estrutura das bandas eletrônicas de um dado material afeta diretamente em que grau se dará a condução elétrica no mesmo, ou seja, se o material, quando submetido a uma diferença de potencial se mostra um isolante, condutor, semicondutor ou isolante topológico.

Somente os elétrons com energia maiores que a energia de Fermi são considerados elétrons livres e participam ativamente no processo de condução elétrica, então é de se esperar que a energia de Fermi, juntamente com o espaçamento entre bandas, estejam diretamente ligados ao grau de condução eletrônica.

Isolantes e semicondutores

Em materiais isolantes, há um grande espaçamento entre a banda de valência que se encontra preenchida com elétrons e as bandas com energias permitidas de condução na qual os elétrons podem se mover com maior facilidade, então, para que um elétron seja "promovido" de uma banda a outra, é preciso fornecer energia o suficiente para ele superar esse grande espaçamento, que geralmente é em torno de alguns eletron-volts. Isso resulta então em materiais pouco condutores ou isolantes que necessitam de muita energia para excitar os elétrons e promover a condução.

Já para os semicondutores, esse espaçamento entre as bandas com níveis proibidos de energia é menor, possibilitando que alguns elétrons sejam excitados para a banda de condução.

Existem dois tipos de espaçamento entre bandas, o direto e o indireto. Se o mínimo de energia da banda de condução e o máximo de energia da banda de valência tiverem o mesmo momento cristalino na zona de Brillouin, o espaçamento é do tipo direto e os elétrons podem ser excitados para a banda de condução sem a necessidade de ter seu momento alterado. Se o momento cristalino for distinto, o espaçamento é dito indireto e os elétrons não podem ser excitados sem que haja uma alteração em seu momento.^[1]

Condutores

Materiais condutores, como os metais, podem apresentar dois tipos distintos de estrutura de bandas. O primeiro tipo é caracterizado por uma superposição entre a banda de condução e a banda de valência (com estados preenchidos e não preenchidos). O segundo tipo pode ser caracterizado por uma banda de valência com estados preenchidos e não preenchidos e um pequeno espaçamento entre a banda de valência e uma banda vazia superior. Ou seja, ambos os tipos de estrutura apresentam grande facilidade em excitar os elétrons para níveis superiores de energia onde eles podem se mover facilmente.^[1]

Isolantes topológicos

Esta seção não cita fontes confiáveis e independentes. Ajude a inserir referências. O conteúdo não verificável pode ser removido.—Encontre fontes: Google (notícias, livros e acadêmico) (Dezembro de 2020)

Um isolante topológico é um material que, em seu interior, comporta-se como isolante, mas possui em sua superfície estados condutores, ou seja, os elétrons se movem ao longo de sua superfície. No bulk de um isolante com topologia não-interagente a estrutura de banda eletrônica é idêntica a de um isolante comum, com o nível de Fermi caindo entre as bandas de valência e bandas condutoras, como pode ser visto na figura seguinte:

Estrutura de bandas idealizada para um isolante topológico.

Enquanto a simetria de reversão temporal for mantida a banda de condução do isolante topológicos não pode ser perturbada por pequenas alteração de carga com o estado de condução da superfície estando protegidos pela simetria. Na presença de campos magnéticos, a superfície passa a ter um estado isolante. Há cristais que na presença de campos magnéticos possuem um estado condutor e na ausência passam a ter um estado isolante na superfície, estes são chamados de isolantes topológicos magnéticos.

Efeito Hall quântico de spin

Quando argumentamos que a degenerescência do ponto de Dirac é protegida pela inversão e simetria de reversão temporal foi ignorado o spin do elétron. A órbita de spin permite um novo termo na equação 1 em que leva a um estado de isolante

${\displaystyle {\mathcal {H}}=-\imath \hbar v_{F}(\sigma ^{x}\tau ^{z}\partial _{x}+\sigma ^{y}\partial _{y})}$

o grau de liberdade de rotação permite um novo termo de massa na forma

${\displaystyle \delta {\mathcal {H}}^{SO}=\lambda _{SO}\sigma ^{z}\tau ^{z}s^{z}}$

///

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA do INFINITO-DIMENSIONAL.

Tomando separadamente, o Hamiltoniano para ${\displaystyle s^{z}=\pm 1}$ spin viola a simetria de reversão temporal e são equivalentes ao modelo de Haldane para um único elétron, que dá a condutividade ${\displaystyle \pm e^{2}/h}$.

Métodos de cálculo da estrutura eletrônica

Existem várias maneiras de se estudar o aparecimento de bandas de energia em um sólido:

Método de elétrons quase livres

Esta seção não cita fontes confiáveis e independentes. Ajude a inserir referências. O conteúdo não verificável pode ser removido.—Encontre fontes: Google (notícias, livros e acadêmico) (Dezembro de 2020)

Considere um gás de elétrons presos em uma caixa do tamanho do sólido que você esta interessado. Esta é uma ótima aproximação de um metal. Devido ao princípio de exclusão de Pauli e a efeitos de blindagem, os níveis de energia antes disponíveis, podem agora apresentar gaps pequenos. Esta é a idéia básica para a se estudar a estrutura eletrônica de banda de elétrons quase livres.

Método de Tight Binding

Esta seção não cita fontes confiáveis e independentes. Ajude a inserir referências. O conteúdo não verificável pode ser removido.—Encontre fontes: Google (notícias, livros e acadêmico) (Dezembro de 2020)

Considere os átomos que formam o seu sólido e a estrutura eletrônica dos elétrons nestes átomos. Imagine que os átomos de seu sólido estão muito separados, uma distância grande o suficiente para que os elétrons em órbita de uma átomo não percebam a presença de outros elétrons em outros átomos. Se agora, em teoria, você começar a diminuir a distância entre estes átomos em algum momento os elétrons começarão a interagir. Os elétrons mais exteriores com certeza serão muito mais afetados pela presença dos outros átomos que os elétrons nas camadas mais internas. Usando as estrutura eletrônica atômica original e esta interação é possível calcular-se as alterações causadas no níveis atômicos e observar o aparecimento de bandas de elétrons e gaps de energia. Este é a ideias utilizada na teoria de tight binding (aproximação de primeiros vizinhos) para a estrutura eletrônica de bandas.

Outros métodos importantes são o ${\displaystyle k\cdot p}$ (lê-se k escalar p), e métodos com Funções de Green.

Teoria do Funcional da Densidade

Em princípio, os níveis de energia dos elétrons em um material que possui ${\displaystyle N}$ elétrons interagentes entre si podem ser calculados resolvendo-se a equação de Schröedinger para o hamiltoniano,

${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {T}}+{\hat {V}}+{\hat {V}}_{ee}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\sum _{i=1}^{N}\nabla _{i}^{2}+\sum _{i=1}^{N}v(\mathbf {r_{i}} )+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}\sum _{j>i}^{N}{\frac {1}{\|\mathbf {r_{i}} -\mathbf {r_{j}} \|}}}$,

///

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA do INFINITO-DIMENSIONAL.

isto é, obtendo-se os autovalores da energia para os autovetores da função de onda do sistema.

Como todos os elétrons interagem entre si e a função de onda do sistema depende de ${\displaystyle 3N}$ variáveis espaciais, o esforço computacional para resolver a equação de Schröedinger se torna proibitivo até mesmo para pequenos valores de ${\displaystyle N}$, de forma que este método não se mostra viável para sistemas maiores.

O método da teoria do funcional da densidade (DFT) introduz uma abordagem diferente para calcular os níveis de energia dos elétrons: no lugar da função de onda, utiliza-se a densidade do sistema no estado fundamental, que depende apenas das 3 variáveis espaciais. Desta forma, a complexidade computacional do problema é reduzida drasticamente, viabilizando o cálculo dos níveis de energia eletrônicos do sistema.

Através do princípio variacional de Hohenbeg-Kohn, constrói-se um modelo para uma partícula efetiva, resultando em equações de Schröedinger chamadas de equações de Kohn-Sham, que são da forma

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+v_{ef}(\mathbf {r} )=\varepsilon _{i}\varphi _{i}(\mathbf {r} )}$.

///

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA do INFINITO-DIMENSIONAL.

As soluções dessas equações fornecem as energias de Kohn-Sham; já a densidade do sistema no estado fundamental é obtida a partir do determinante de Slater para N orbitais de partículas únicas,

${\displaystyle n(\mathbf {r} )=\sum _{i}^{occ}\|\varphi _{i}(\mathbf {r} )\|^{2}}$,

///

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA do INFINITO-DIMENSIONAL.

sujeitas a um potencial efetivo ${\displaystyle v_{ef}[n](\mathbf {r} )}$, que depende funcionalmente da densidade ^[3]

Desta forma, é possível comparar diretamente as estruturas de banda de Kohn-Sham obtidas com medidas experimentais das bandas de energia, verificando-se que as estruturas obtidas estão de acordo com as medidas experimentalmente diversos casos. Em particular, o método da teoria do funcional da densidade é capaz de capturar o formato da estrutura de bandas de diversos metais simples. No entanto, o método apresenta dificuldade em descrever as estruturas de bandas de materiais isolantes e semicondutores, uma vez que o espaço de valores inacessíveis (gap) entre as bandas é subestimado sistematicamente.^[4]